미적분 예제

$f (x) = {(3 x^{4} - 8 x)}^{3} + \sqrt{x}$

단계 1

합의 법칙에 의해 ${(3 x^{4} - 8 x)}^{3} + \sqrt{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [{(3 x^{4} - 8 x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [{(3 x^{4} - 8 x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [{(3 x^{4} - 8 x)}^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = 3 x^{4} - 8 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x^{4} - 8 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 8 x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

단계 2.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 8 x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $3 x^{4} - 8 x$ 로 바꿉니다.

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 8 x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $3 x^{4} - 8 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ 가 됩니다.

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

단계 2.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{4}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

단계 2.4

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

단계 2.5

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 8 x$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (3 (4 x^{3}) - 8 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

단계 2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (3 (4 x^{3}) - 8 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

단계 2.7

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

단계 2.8

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

단계 3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

단계 3.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

단계 3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

단계 3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

단계 3.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

단계 3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

단계 4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

항을 묶습니다.

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단계 5.1.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 5.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8)$ 을 표현하기 위해 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 5.1.3

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8)$ 와 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 5.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) (2 x^{\frac{1}{2}}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 5.1.5

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{6 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 5.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}} {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$