미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{2} - 4}{2 x - 6}$

단계 1

$f (x) = x^{2} - 4$ , $g (x) = 2 x - 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(2 x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{{(2 x - 6)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{(2 x - 6) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{{(2 x - 6)}^{2}}$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(2 x - 6) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{{(2 x - 6)}^{2}}$

단계 2.3

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$\frac{(2 x - 6) (2 x + 0) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{{(2 x - 6)}^{2}}$

단계 2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(2 x - 6) (2 x) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{{(2 x - 6)}^{2}}$

단계 2.4.2

$2 x - 6$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot (2 x - 6) x - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{{(2 x - 6)}^{2}}$

단계 2.5

합의 법칙에 의해 $2 x - 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (2 x - 6) x - (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(2 x - 6)}^{2}}$

단계 2.6

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{2 (2 x - 6) x - (x^{2} - 4) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(2 x - 6)}^{2}}$

단계 2.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (2 x - 6) x - (x^{2} - 4) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(2 x - 6)}^{2}}$

단계 2.8

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (2 x - 6) x - (x^{2} - 4) (2 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(2 x - 6)}^{2}}$

단계 2.9

$- 6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 6$ 입니다.

$\frac{2 (2 x - 6) x - (x^{2} - 4) (2 + 0)}{{(2 x - 6)}^{2}}$

단계 2.10

식을 간단히 합니다.

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단계 2.10.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (2 x - 6) x - (x^{2} - 4) \cdot 2}{{(2 x - 6)}^{2}}$

단계 2.10.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (2 x - 6) x - 2 (x^{2} - 4)}{{(2 x - 6)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 (2 x) + 2 \cdot - 6) x - 2 (x^{2} - 4)}{{(2 x - 6)}^{2}}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (2 x) x + 2 \cdot - 6 x - 2 (x^{2} - 4)}{{(2 x - 6)}^{2}}$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (2 x) x + 2 \cdot - 6 x - 2 x^{2} - 2 \cdot - 4}{{(2 x - 6)}^{2}}$

단계 3.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.4.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (2 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 6 x - 2 x^{2} - 2 \cdot - 4}{{(2 x - 6)}^{2}}$

단계 3.4.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot - 6 x - 2 x^{2} - 2 \cdot - 4}{{(2 x - 6)}^{2}}$

단계 3.4.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x^{2} + 2 \cdot - 6 x - 2 x^{2} - 2 \cdot - 4}{{(2 x - 6)}^{2}}$

단계 3.4.1.3

$2$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x^{2} - 12 x - 2 x^{2} - 2 \cdot - 4}{{(2 x - 6)}^{2}}$

단계 3.4.1.4

$- 2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x^{2} - 12 x - 2 x^{2} + 8}{{(2 x - 6)}^{2}}$

단계 3.4.2

$4 x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 8}{{(2 x - 6)}^{2}}$

단계 3.5

$2 x^{2} - 12 x + 8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.5.1

$2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2}) - 12 x + 8}{{(2 x - 6)}^{2}}$

단계 3.5.2

$- 12 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 6 x) + 8}{{(2 x - 6)}^{2}}$

단계 3.5.3

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 4}{{(2 x - 6)}^{2}}$

단계 3.5.4

$2 x^{2} + 2 (- 6 x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot 4}{{(2 x - 6)}^{2}}$

단계 3.5.5

$2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 4)}{{(2 x - 6)}^{2}}$

단계 3.6

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$2 x - 6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.6.1.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 4)}{{(2 (x) - 6)}^{2}}$

단계 3.6.1.2

$- 6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 4)}{{(2 x + 2 \cdot - 3)}^{2}}$

단계 3.6.1.3

$2 x + 2 \cdot - 3$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 4)}{{(2 (x - 3))}^{2}}$

단계 3.6.2

$2 (x - 3)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 4)}{2^{2} {(x - 3)}^{2}}$

단계 3.6.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 4)}{4 {(x - 3)}^{2}}$

단계 3.7

공약수로 약분합니다.

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단계 3.7.1

$4 {(x - 3)}^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 4)}{2 (2 {(x - 3)}^{2})}$

단계 3.7.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 4)}{2 (2 {(x - 3)}^{2})}$

단계 3.7.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} - 6 x + 4}{2 {(x - 3)}^{2}}$