미적분 예제

$f (x) = {(4 x + 3)}^{2} \ln (4 x + 3)$

단계 1

${(4 x + 3)}^{2}$ 을 $(4 x + 3) (4 x + 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [(4 x + 3) (4 x + 3) \ln (4 x + 3)]$

단계 2

FOIL 계산법을 이용하여 $(4 x + 3) (4 x + 3)$ 를 전개합니다.

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단계 2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [(4 x (4 x + 3) + 3 (4 x + 3)) \ln (4 x + 3)]$

단계 2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [(4 x (4 x) + 4 x \cdot 3 + 3 (4 x + 3)) \ln (4 x + 3)]$

단계 2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [(4 x (4 x) + 4 x \cdot 3 + 3 (4 x) + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

단계 3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [(4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot 3 + 3 (4 x) + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

단계 3.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{d}{d x} [(4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 3 + 3 (4 x) + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

단계 3.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot 3 + 3 (4 x) + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

단계 3.1.3

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(16 x^{2} + 4 x \cdot 3 + 3 (4 x) + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

단계 3.1.4

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(16 x^{2} + 12 x + 3 (4 x) + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

단계 3.1.5

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(16 x^{2} + 12 x + 12 x + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

단계 3.1.6

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(16 x^{2} + 12 x + 12 x + 9) \ln (4 x + 3)]$

단계 3.2

$12 x$ 를 $12 x$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [(16 x^{2} + 24 x + 9) \ln (4 x + 3)]$

단계 4

$f (x) = 16 x^{2} + 24 x + 9$ , $g (x) = \ln (4 x + 3)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{d}{d x} [\ln (4 x + 3)] + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

단계 5

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 4 x + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x + 3$ 로 바꿉니다.

$(16 x^{2} + 24 x + 9) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

단계 5.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$(16 x^{2} + 24 x + 9) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

단계 5.3

$u$ 를 모두 $4 x + 3$ 로 바꿉니다.

$(16 x^{2} + 24 x + 9) (\frac{1}{4 x + 3} \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

합의 법칙에 의해 $4 x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{1}{4 x + 3} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

단계 6.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{1}{4 x + 3} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

단계 6.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{1}{4 x + 3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

단계 6.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{1}{4 x + 3} (4 + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

단계 6.5

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{1}{4 x + 3} (4 + 0) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

단계 6.6

분수를 통분합니다.

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단계 6.6.1

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{1}{4 x + 3} \cdot 4 + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

단계 6.6.2

$4$ 와 $\frac{1}{4 x + 3}$ 을 묶습니다.

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

단계 6.7

합의 법칙에 의해 $16 x^{2} + 24 x + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

단계 6.8

$16$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $16 x^{2}$ 의 미분은 $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

단계 6.9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

단계 6.10

$2$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (32 x + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

단계 6.11

$24$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $24 x$ 의 미분은 $24 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (32 x + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

단계 6.12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (32 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

단계 6.13

$24$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (32 x + 24 + \frac{d}{d x} [9])$

단계 6.14

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (32 x + 24 + 0)$

단계 6.15

$32 x + 24$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (32 x + 24)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

항을 다시 정렬합니다.

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

단계 7.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$16 x^{2} + 24 x + 9$ 에 $\frac{4}{4 x + 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{(16 x^{2} + 24 x + 9) \cdot 4}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

단계 7.2.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 7.2.2.1

$16 x^{2}$ 을 ${(4 x)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{({(4 x)}^{2} + 24 x + 9) \cdot 4}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

단계 7.2.2.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{({(4 x)}^{2} + 24 x + 3^{2}) \cdot 4}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

단계 7.2.2.3

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$24 x = 2 \cdot (4 x) \cdot 3$

단계 7.2.2.4

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{({(4 x)}^{2} + 2 \cdot (4 x) \cdot 3 + 3^{2}) \cdot 4}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

단계 7.2.2.5

$a = 4 x$ 이고 $b = 3$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{{(4 x + 3)}^{2} \cdot 4}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

단계 7.2.3

${(4 x + 3)}^{2}$ 및 $4 x + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.3.1

${(4 x + 3)}^{2} \cdot 4$ 에서 $4 x + 3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(4 x + 3) ((4 x + 3) \cdot 4)}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

단계 7.2.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.3.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{(4 x + 3) ((4 x + 3) \cdot 4)}{(4 x + 3) \cdot 1} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

단계 7.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(4 x + 3) ((4 x + 3) \cdot 4)}{(4 x + 3) \cdot 1} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

단계 7.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(4 x + 3) \cdot 4}{1} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

단계 7.2.3.2.4

$(4 x + 3) \cdot 4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$(4 x + 3) \cdot 4 + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

단계 7.2.4

분배 법칙을 적용합니다.

$4 x \cdot 4 + 3 \cdot 4 + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

단계 7.2.5

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$16 x + 3 \cdot 4 + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

단계 7.2.6

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$16 x + 12 + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

단계 7.2.7

분배 법칙을 적용합니다.

$16 x + 12 + 32 x \ln (4 x + 3) + 24 \ln (4 x + 3)$