미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{x \ln (x)}$

단계 1

$\frac{1}{x \ln (x)}$ 을 ${(x \ln (x))}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(x \ln (x))}^{- 1}]$

단계 2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

단계 2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$- {(x \ln (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

단계 3

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1

공약수로 약분합니다.

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.2.2

수식을 다시 씁니다.

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

단계 5.4

$\ln (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (1 + \ln (x))$

단계 6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{{(x \ln (x))}^{2}} (1 + \ln (x))$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$x \ln (x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} (1 + \ln (x))$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} \cdot 1 - \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} \ln (x)$

단계 7.3

항을 묶습니다.

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단계 7.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} \ln (x)$

단계 7.3.2

$\ln (x)$ 와 $\frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{\ln (x)}{x^{2} \ln^{2} (x)}$

단계 7.3.3

$\ln (x)$ 및 $\ln^{2} (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.3.3.1

$1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{\ln (x) \cdot 1}{x^{2} \ln^{2} (x)}$

단계 7.3.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 7.3.3.2.1

$x^{2} \ln^{2} (x)$ 에서 $\ln (x)$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{\ln (x) \cdot 1}{\ln (x) (x^{2} \ln (x))}$

단계 7.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{\ln (x) \cdot 1}{\ln (x) (x^{2} \ln (x))}$

단계 7.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{1}{x^{2} \ln (x)}$

단계 7.4

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{x^{2} \ln (x)} - \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)}$