미적분 예제

$f (x) = \frac{2 x}{1 - x}$

단계 1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2 x}{1 - x}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - x}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - x}]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = 1 - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{(1 - x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 3.2

$1 - x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \frac{1 - x - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 3.3

합의 법칙에 의해 $1 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$2 \frac{1 - x - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 3.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 \frac{1 - x - x (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 3.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$2 \frac{1 - x - x \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 3.6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{1 - x - x (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 3.7

곱합니다.

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단계 3.7.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 \frac{1 - x + 1 x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 3.7.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \frac{1 - x + x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{1 - x + x \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 3.9

항을 간단히 합니다.

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단계 3.9.1

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \frac{1 - x + x}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 3.9.2

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$2 \frac{1 + 0}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 3.9.3

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 3.9.4

$2$ 와 $\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 3.9.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2}{{(- x + 1)}^{2}}$