미적분 예제

$f (x) = \log_{8} (\frac{x^{2} - 5}{x - 10})$

단계 1

$f (x) = \log_{8} (x)$ , $g (x) = \frac{x^{2} - 5}{x - 10}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x^{2} - 5}{x - 10}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\log_{8} (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x - 10}]$

단계 1.2

$\log_{8} (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u \ln (8)}$ 입니다.

$\frac{1}{u \ln (8)} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x - 10}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{x^{2} - 5}{x - 10}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\frac{x^{2} - 5}{x - 10} \ln (8)} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x - 10}]$

단계 2

$\frac{x^{2} - 5}{x - 10}$ 와 $\ln (8)$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{\frac{(x^{2} - 5) \ln (8)}{x - 10}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x - 10}]$

단계 3

$\frac{(x^{2} - 5) \ln (8)}{x - 10}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$1 \frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x - 10}]$

단계 4

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x - 10}]$

단계 5

$f (x) = x^{2} - 5$ , $g (x) = x - 10$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{(x - 10) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 10]}{{(x - 10)}^{2}}$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{(x - 10) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 10]}{{(x - 10)}^{2}}$

단계 6.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{(x - 10) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 10]}{{(x - 10)}^{2}}$

단계 6.3

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{(x - 10) (2 x + 0) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 10]}{{(x - 10)}^{2}}$

단계 6.4

식을 간단히 합니다.

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단계 6.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{(x - 10) (2 x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 10]}{{(x - 10)}^{2}}$

단계 6.4.2

$x - 10$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{2 \cdot (x - 10) x - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 10]}{{(x - 10)}^{2}}$

단계 6.5

합의 법칙에 의해 $x - 10$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ 가 됩니다.

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x - 10)}^{2}}$

단계 6.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x - 10)}^{2}}$

단계 6.7

$- 10$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 10$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 10$ 입니다.

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5) (1 + 0)}{{(x - 10)}^{2}}$

단계 6.8

분수를 통분합니다.

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단계 6.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5) \cdot 1}{{(x - 10)}^{2}}$

단계 6.8.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 10)}^{2}}$

단계 6.8.3

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)}$ 에 $\frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 10)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(x - 10) (2 (x - 10) x - (x^{2} - 5))}{(x^{2} - 5) \ln (8) {(x - 10)}^{2}}$

단계 7

공약수로 약분합니다.

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단계 7.1

$(x^{2} - 5) \ln (8) {(x - 10)}^{2}$ 에서 $x - 10$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x - 10) (2 (x - 10) x - (x^{2} - 5))}{(x - 10) ((x^{2} - 5) \ln (8) (x - 10))}$

단계 7.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x - 10) (2 (x - 10) x - (x^{2} - 5))}{(x - 10) ((x^{2} - 5) \ln (8) (x - 10))}$

단계 7.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5)}{(x^{2} - 5) \ln (8) (x - 10)}$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 10) x - (x^{2} - 5)}{(x^{2} - 5) \ln (8) (x - 10)}$

단계 8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 10 x - (x^{2} - 5)}{(x^{2} - 5) \ln (8) (x - 10)}$

단계 8.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 10 x - x^{2} - - 5}{(x^{2} - 5) \ln (8) (x - 10)}$

단계 8.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 10 x - x^{2} - - 5}{(x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8)) (x - 10)}$

단계 8.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.5.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 8.5.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 10 x - x^{2} - - 5}{(x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8)) (x - 10)}$

단계 8.5.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 10 x - x^{2} - - 5}{(x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8)) (x - 10)}$

단계 8.5.1.2

$2$ 에 $- 10$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - 20 x - x^{2} - - 5}{(x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8)) (x - 10)}$

단계 8.5.1.3

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - 20 x - x^{2} + 5}{(x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8)) (x - 10)}$

단계 8.5.2

$2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} - 20 x + 5}{(x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8)) (x - 10)}$

단계 8.6

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{2} - 20 x + 5}{(x - 10) (x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8))}$