미적분 예제

$f (x) = \frac{\sin (x)}{2 - \cos (x)}$

단계 1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 - \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(2 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [2 - \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [2 - \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $2 - \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 3.2

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 에 더합니다.

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 3.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \cos (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 3.5

곱합니다.

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단계 3.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) + 1 \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 3.5.2

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 4

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 6

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \cos (x) - \cos (x) \cos (x) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$- \cos (x) \cos (x)$ 을 곱합니다.

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단계 9.2.1.1

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x)) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1} - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.1.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 \cos (x) - \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.2

$- \cos^{2} (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.3

$- \sin^{2} (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.4

$- (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.5

항을 다시 배열합니다.

$\frac{2 \cos (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.6

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{2 \cos (x) - 1 \cdot 1}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 9.2.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \cos (x) - 1}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 9.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 1 + 2 \cos (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 9.4

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (1) + 2 \cos (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 9.5

$2 \cos (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (1) - (- 2 \cos (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 9.6

$- 1 (1) - (- 2 \cos (x))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (1 - 2 \cos (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 9.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1 - 2 \cos (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$