미적분 예제

$f (x) = \sqrt{\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}}$ 을(를) ${(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = \frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

단계 2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

단계 6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

단계 7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

단계 8

$f (x) = 1 - 2 x$ , $g (x) = 1 + 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x] - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

단계 9

미분합니다.

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단계 9.1

합의 법칙에 의해 $1 - 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

단계 9.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

단계 9.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

단계 9.4

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

단계 9.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) (- 2 \cdot 1) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

단계 9.6

식을 간단히 합니다.

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단계 9.6.1

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) \cdot - 2 - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

단계 9.6.2

$1 + 2 x$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 \cdot (1 + 2 x) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

단계 9.7

합의 법칙에 의해 $1 + 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - (1 - 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

단계 9.8

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - (1 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

단계 9.9

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

단계 9.10

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - (1 - 2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

단계 9.11

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

단계 9.12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x) \cdot 1}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

단계 9.13

항을 간단히 합니다.

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단계 9.13.1

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

단계 9.13.2

$\frac{- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2} \cdot 2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 9.13.3

${(1 + 2 x)}^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x)}{2 \cdot {(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 9.13.4

$- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x)$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.13.4.1

$- 2 (1 + 2 x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (1 + 2 x)) - 2 (1 - 2 x)}{2 {(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 9.13.4.2

$- 2 (1 - 2 x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (1 + 2 x)) + 2 (- (1 - 2 x))}{2 {(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 9.13.4.3

$2 (- (1 + 2 x)) + 2 (- (1 - 2 x))$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (1 + 2 x) - (1 - 2 x))}{2 {(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 9.13.4.4

공약수로 약분합니다.

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단계 9.13.4.4.1

$2 {(1 + 2 x)}^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (1 + 2 x) - (1 - 2 x))}{2 ({(1 + 2 x)}^{2})} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 9.13.4.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- (1 + 2 x) - (1 - 2 x))}{2 {(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 9.13.4.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- (1 + 2 x) - (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

밑을 역수로 만들어 지수의 부호를 바꿉니다.

$\frac{- (1 + 2 x) - (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 + 2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}}$

단계 10.2

$\frac{1 + 2 x}{1 - 2 x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{- (1 + 2 x) - (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 1 \cdot 1 - (2 x) - (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 1 \cdot 1 - (2 x) - 1 \cdot 1 - (- 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.5

항을 묶습니다.

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단계 10.5.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1 - (2 x) - 1 \cdot 1 - (- 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.5.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1 - 2 x - 1 \cdot 1 - (- 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.5.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1 - 2 x - 1 - (- 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.5.4

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1 - 2 x - 1 + 2 x}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.5.5

$- 1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 x - 2 + 2 x}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.5.6

$- 2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{0 - 2}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.5.7

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.5.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.5.9

$\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{2}{{(1 + 2 x)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{2}}$

단계 10.5.10

${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{2 \cdot {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{2}}$

단계 10.5.11

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{2} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}$

단계 10.5.12

지수를 더하여 ${(1 + 2 x)}^{2}$ 에 ${(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 10.5.12.1

${(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} ({(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{2})}$

단계 10.5.12.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2} + 2}}$

단계 10.5.12.3

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

단계 10.5.12.4

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

단계 10.5.12.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

단계 10.5.12.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 10.5.12.6.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

단계 10.5.12.6.2

$- 1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{\frac{3}{2}}}$