미적분 예제

$f (x) = \frac{\sin (x)}{x} + \frac{| \sin (x) |}{x}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\frac{\sin (x)}{x} + \frac{| \sin (x) |}{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{| \sin (x) |}{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{| \sin (x) |}{x}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{| \sin (x) |}{x}]$

단계 2.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{| \sin (x) |}{x}]$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{| \sin (x) |}{x}]$

단계 2.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{| \sin (x) |}{x}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [\frac{| \sin (x) |}{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$f (x) = | \sin (x) |$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x \frac{d}{d x} [| \sin (x) |] - | \sin (x) | \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3.2

$f (x) = | x |$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - | \sin (x) | \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3.2.2

$| u |$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{u}{| u |}$ 입니다.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - | \sin (x) | \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\frac{\sin (x)}{| \sin (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - | \sin (x) | \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\frac{\sin (x)}{| \sin (x) |} \cos (x)) - | \sin (x) | \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\frac{\sin (x)}{| \sin (x) |} \cos (x)) - | \sin (x) | \cdot 1}{x^{2}}$

단계 3.5

$\frac{\sin (x)}{| \sin (x) |}$ 와 $\cos (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x \frac{\sin (x) \cos (x)}{| \sin (x) |} - | \sin (x) | \cdot 1}{x^{2}}$

단계 3.6

$x$ 와 $\frac{\sin (x) \cos (x)}{| \sin (x) |}$ 을 묶습니다.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{\frac{x (\sin (x) \cos (x))}{| \sin (x) |} - | \sin (x) | \cdot 1}{x^{2}}$

단계 3.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{\frac{x (\sin (x) \cos (x))}{| \sin (x) |} - | \sin (x) |}{x^{2}}$

단계 3.8

$\frac{\frac{x (\sin (x) \cos (x))}{| \sin (x) |} - | \sin (x) |}{x^{2}}$ 에 $\frac{| \sin (x) |}{| \sin (x) |}$ 을 곱합니다.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{| \sin (x) |}{| \sin (x) |} \cdot \frac{\frac{x (\sin (x) \cos (x))}{| \sin (x) |} - | \sin (x) |}{x^{2}}$

단계 3.9

조합합니다.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{| \sin (x) | (\frac{x (\sin (x) \cos (x))}{| \sin (x) |} - | \sin (x) |)}{| \sin (x) | x^{2}}$

단계 3.10

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{| \sin (x) | \frac{x (\sin (x) \cos (x))}{| \sin (x) |} + | \sin (x) | (- | \sin (x) |)}{| \sin (x) | x^{2}}$

단계 3.11

$| \sin (x) |$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.11.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{| \sin (x) | \frac{x (\sin (x) \cos (x))}{| \sin (x) |} + | \sin (x) | (- | \sin (x) |)}{| \sin (x) | x^{2}}$

단계 3.11.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) + | \sin (x) | (- | \sin (x) |)}{| \sin (x) | x^{2}}$

단계 3.12

절댓값을 곱하려면 각 절댓값 내부의 항을 곱합니다.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) - | \sin (x) \sin (x) |}{| \sin (x) | x^{2}}$

단계 3.13

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) - | \sin^{1} (x) \sin (x) |}{| \sin (x) | x^{2}}$

단계 3.14

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) - | \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) |}{| \sin (x) | x^{2}}$

단계 3.15

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) - | {\sin (x)}^{1 + 1} |}{| \sin (x) | x^{2}}$

단계 3.16

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) - | \sin^{2} (x) |}{| \sin (x) | x^{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

항을 묶습니다.

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단계 4.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{| \sin (x) |}{| \sin (x) |}$ 을 곱합니다.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} \cdot \frac{| \sin (x) |}{| \sin (x) |} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) - | \sin^{2} (x) |}{| \sin (x) | x^{2}}$

단계 4.1.2

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $| \sin (x) | x^{2}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.1.2.1

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}}$ 에 $\frac{| \sin (x) |}{| \sin (x) |}$ 을 곱합니다.

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) | \sin (x) |}{x^{2} | \sin (x) |} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) - | \sin^{2} (x) |}{| \sin (x) | x^{2}}$

단계 4.1.2.2

$| \sin (x) | x^{2}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) | \sin (x) |}{x^{2} | \sin (x) |} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) - | \sin^{2} (x) |}{x^{2} | \sin (x) |}$

단계 4.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) | \sin (x) | + x (\sin (x) \cos (x)) - | \sin^{2} (x) |}{x^{2} | \sin (x) |}$

단계 4.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{| \sin (x) | (x \cos (x) - \sin (x)) + x \cos (x) \sin (x) - | \sin^{2} (x) |}{x^{2} | \sin (x) |}$

단계 4.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{| \sin (x) | (x \cos (x)) + | \sin (x) | (- \sin (x)) + x \cos (x) \sin (x) - | \sin^{2} (x) |}{x^{2} | \sin (x) |}$

단계 4.3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{| \sin (x) | x \cos (x) - | \sin (x) | \sin (x) + x \cos (x) \sin (x) - | \sin^{2} (x) |}{x^{2} | \sin (x) |}$

단계 4.3.3

절댓값에서 음이 아닌 항을 제거합니다.

$\frac{| \sin (x) | x \cos (x) - | \sin (x) | \sin (x) + x \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x)}{x^{2} | \sin (x) |}$

단계 4.3.4

인수분해된 형태로 $| \sin (x) | x \cos (x) - | \sin (x) | \sin (x) + x \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x)$ 를 다시 씁니다.

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단계 4.3.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{x | \sin (x) | \cos (x) - | \sin (x) | \sin (x) + x \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x)}{x^{2} | \sin (x) |}$

단계 4.3.4.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 4.3.4.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{(x | \sin (x) | \cos (x) - | \sin (x) | \sin (x)) + x \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x)}{x^{2} | \sin (x) |}$

단계 4.3.4.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{| \sin (x) | (x \cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (x \cos (x) - \sin (x))}{x^{2} | \sin (x) |}$

단계 4.3.4.3

최대공약수 $x \cos (x) - \sin (x)$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) (| \sin (x) | + \sin (x))}{x^{2} | \sin (x) |}$