미적분 예제

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 1} - x$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\sqrt{x^{2} + 1} - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 1}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 1}] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 1}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 을(를) ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.7

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.9.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.9.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.11

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.12

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.13

$2$ 와 $\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} x + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.14

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.15

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.16

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.17

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1$

단계 3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 1$