미적분 예제

$f (x) = \frac{72}{5} + \frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}$

단계 1

미분합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{72}{5} + \frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{72}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{72}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}]$

단계 1.2

$\frac{72}{5}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $\frac{72}{5}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{72}{5}$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$\frac{48}{5}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}$ 의 미분은 $\frac{48}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}]$ 입니다.

$0 + \frac{48}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}]$

단계 2.2

$\frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}$ 을 ${({(3 x + 1)}^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$0 + \frac{48}{5} \frac{d}{d x} [{({(3 x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

단계 2.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = {(3 x + 1)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(3 x + 1)}^{2}$ 로 바꿉니다.

$0 + \frac{48}{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{2}])$

단계 2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + \frac{48}{5} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{2}])$

단계 2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(3 x + 1)}^{2}$ 로 바꿉니다.

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{2}])$

단계 2.4

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 3 x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $3 x + 1$ 로 바꿉니다.

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [3 x + 1]))$

단계 2.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [3 x + 1]))$

단계 2.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $3 x + 1$ 로 바꿉니다.

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x + 1]))$

단계 2.5

합의 법칙에 의해 $3 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])))$

단계 2.6

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])))$

단계 2.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])))$

단계 2.8

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) (3 \cdot 1 + 0)))$

단계 2.9

${({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.9.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{2 \cdot - 2} (2 (3 x + 1) (3 \cdot 1 + 0)))$

단계 2.9.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{- 4} (2 (3 x + 1) (3 \cdot 1 + 0)))$

단계 2.10

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{- 4} (2 (3 x + 1) (3 + 0)))$

단계 2.11

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{- 4} (2 (3 x + 1) \cdot 3))$

단계 2.12

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{- 4} (6 (3 x + 1)))$

단계 2.13

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{48}{5} (- 6 {(3 x + 1)}^{- 4} (3 x + 1))$

단계 2.14

$3 x + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$0 + \frac{48}{5} (- 6 ({(3 x + 1)}^{1} {(3 x + 1)}^{- 4}))$

단계 2.15

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$0 + \frac{48}{5} (- 6 {(3 x + 1)}^{1 - 4})$

단계 2.16

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$0 + \frac{48}{5} (- 6 {(3 x + 1)}^{- 3})$

단계 2.17

$- 6$ 와 $\frac{48}{5}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{- 6 \cdot 48}{5} {(3 x + 1)}^{- 3}$

단계 2.18

$- 6$ 에 $48$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{- 288}{5} {(3 x + 1)}^{- 3}$

단계 2.19

$\frac{- 288}{5}$ 와 ${(3 x + 1)}^{- 3}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{- 288 {(3 x + 1)}^{- 3}}{5}$

단계 2.20

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(3 x + 1)}^{- 3}$ 를 분모로 이동합니다.

$0 + \frac{- 288}{5 {(3 x + 1)}^{3}}$

단계 2.21

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$0 - \frac{288}{5 {(3 x + 1)}^{3}}$

단계 3

$0$ 에서 $\frac{288}{5 {(3 x + 1)}^{3}}$ 을 뺍니다.

$- \frac{288}{5 {(3 x + 1)}^{3}}$