미적분 예제

$f (x) = \frac{x}{{(7 x - 6)}^{6}}$

단계 1

$f (x) = x$ , $g (x) = {(7 x - 6)}^{6}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{({(7 x - 6)}^{6})}^{2}}$

단계 2

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

${({(7 x - 6)}^{6})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{(7 x - 6)}^{6 \cdot 2}}$

단계 2.1.2

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{(7 x - 6)}^{12}}$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{(7 x - 6)}^{12}}$

단계 2.3

${(7 x - 6)}^{6}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{(7 x - 6)}^{12}}$

단계 3

$f (x) = x^{6}$ , $g (x) = 7 x - 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $7 x - 6$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - x (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

단계 3.2

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - x (6 u^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $7 x - 6$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - x (6 {(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

단계 4

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - 6 x ({(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

단계 4.2

${(7 x - 6)}^{6} - 6 x ({(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])$ 에서 ${(7 x - 6)}^{5}$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.2.1

${(7 x - 6)}^{6}$ 에서 ${(7 x - 6)}^{5}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6) - 6 x ({(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

단계 4.2.2

$- 6 x ({(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])$ 에서 ${(7 x - 6)}^{5}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6) + {(7 x - 6)}^{5} (- 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{12}}$

단계 4.2.3

${(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6) + {(7 x - 6)}^{5} (- 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))$ 에서 ${(7 x - 6)}^{5}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{12}}$

단계 5

공약수로 약분합니다.

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단계 5.1

${(7 x - 6)}^{12}$ 에서 ${(7 x - 6)}^{5}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{5} {(7 x - 6)}^{7}}$

단계 5.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{5} {(7 x - 6)}^{7}}$

단계 5.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

단계 6

합의 법칙에 의해 $7 x - 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 가 됩니다.

$\frac{7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

단계 7

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{7 x - 6 - 6 x (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

단계 8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{7 x - 6 - 6 x (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

단계 9

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{7 x - 6 - 6 x (7 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

단계 10

$- 6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 6$ 입니다.

$\frac{7 x - 6 - 6 x (7 + 0)}{{(7 x - 6)}^{7}}$

단계 11

항을 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 11.1

$7$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{7 x - 6 - 6 x \cdot 7}{{(7 x - 6)}^{7}}$

단계 11.2

$7$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$\frac{7 x - 6 - 42 x}{{(7 x - 6)}^{7}}$

단계 11.3

$7 x$ 에서 $42 x$ 을 뺍니다.

$\frac{- 35 x - 6}{{(7 x - 6)}^{7}}$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

$- 35 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (35 x) - 6}{{(7 x - 6)}^{7}}$

단계 12.2

$- 6$ 을 $- 1 (6)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (35 x) - 1 (6)}{{(7 x - 6)}^{7}}$

단계 12.3

$- (35 x) - 1 (6)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (35 x + 6)}{{(7 x - 6)}^{7}}$

단계 12.4

$- (35 x + 6)$ 을 $- 1 (35 x + 6)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (35 x + 6)}{{(7 x - 6)}^{7}}$

단계 12.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{35 x + 6}{{(7 x - 6)}^{7}}$