미적분 예제

$f (x) = \frac{x}{x + \frac{c}{x}}$

단계 1

$f (x) = x$ , $g (x) = x + \frac{c}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + \frac{c}{x}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 2

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + \frac{c}{x}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 2.2

$x + \frac{c}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 3

$\frac{x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{x} \cdot \frac{x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 4

조합합니다.

$\frac{x (x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x \frac{c}{x} + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 6

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \cdot x + x \frac{c}{x} + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 6.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x \cdot x + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{1} x + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 8

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{1} x^{1} + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{1 + 1} + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 10

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 11

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{2} + c - (x^{1} x) \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 12

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{2} + c - (x^{1} x^{1}) \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 13

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{2} + c - x^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 14

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 15

합의 법칙에 의해 $x + \frac{c}{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 16

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 17

$c$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{c}{x}$ 의 미분은 $c \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 18

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c \frac{d}{d x} [x^{- 1}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 19

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c (- x^{- 2}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 20

간단히 합니다.

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단계 20.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c (- \frac{1}{x^{2}}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 20.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} \cdot 1 - x^{2} (c (- \frac{1}{x^{2}}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 20.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 20.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 20.3.1.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} (c (- \frac{1}{x^{2}}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 20.3.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} (- c \frac{1}{x^{2}})}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 20.3.1.3

$\frac{1}{x^{2}}$ 와 $c$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} (- \frac{c}{x^{2}})}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 20.3.1.4

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 20.3.1.4.1

$- \frac{c}{x^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} \frac{- c}{x^{2}}}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 20.3.1.4.2

$- x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + x^{2} \cdot - 1 \frac{- c}{x^{2}}}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 20.3.1.4.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + x^{2} \cdot - 1 \frac{- c}{x^{2}}}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 20.3.1.4.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - - c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 20.3.1.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + 1 c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 20.3.1.6

$c$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 20.3.2

$x^{2} + c - x^{2} + c$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 20.3.2.1

$x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{c + 0 + c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 20.3.2.2

$c$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{c + c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 20.3.3

$c$ 를 $c$ 에 더합니다.

$\frac{2 c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 20.4

분모를 간단히 합니다.

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단계 20.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $x$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 c}{x {(\frac{x \cdot x}{x} + \frac{c}{x})}^{2}}$

단계 20.4.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 c}{x {(\frac{x \cdot x + c}{x})}^{2}}$

단계 20.4.3

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 c}{x {(\frac{x^{2} + c}{x})}^{2}}$

단계 20.4.4

$\frac{x^{2} + c}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 c}{x \frac{{(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}}$

단계 20.5

$x$ 와 $\frac{{(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 c}{\frac{x {(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}}$

단계 20.6

공약수를 소거하여 수식 $\frac{x {(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}$ 을 간단히 정리합니다.

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단계 20.6.1

$x {(x^{2} + c)}^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 c}{\frac{x ({(x^{2} + c)}^{2})}{x^{2}}}$

단계 20.6.2

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 c}{\frac{x ({(x^{2} + c)}^{2})}{x \cdot x}}$

단계 20.6.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 c}{\frac{x {(x^{2} + c)}^{2}}{x \cdot x}}$

단계 20.6.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 c}{\frac{{(x^{2} + c)}^{2}}{x}}$

단계 20.7

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$2 c \frac{x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$

단계 20.8

$2 c \frac{x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 20.8.1

$2$ 와 $\frac{x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$c \frac{2 x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$

단계 20.8.2

$c$ 와 $\frac{2 x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{c (2 x)}{{(x^{2} + c)}^{2}}$

단계 20.9

$c$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 c x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$