미적분 예제

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 1

$t$ 이 $\infty$ 에 가까워짐에 따라 적분을 극한값으로 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{- 2} d x$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$lim_{t \to \infty} - x^{- 1}]_{1}^{t}$

단계 4

대입하여 간단히 합니다.

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단계 4.1

$t$ , $1$ 일 때, $- x^{- 1}$ 값을 계산합니다.

$lim_{t \to \infty} (- t^{- 1}) + 1^{- 1}$

단계 4.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$lim_{t \to \infty} - t^{- 1} + 1$

단계 5

극한값을 계산합니다.

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단계 5.1

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- lim_{t \to \infty} t^{- 1} + lim_{t \to \infty} 1$

단계 5.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} + lim_{t \to \infty} 1$

단계 5.3

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{t}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$- 0 + lim_{t \to \infty} 1$

단계 5.4

극한값을 계산합니다.

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단계 5.4.1

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$0 + 1$

단계 5.4.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1$