미적분 예제

$f (x) = 8 x^{2} e^{- x^{2}}$

단계 1

식 $8 x^{2} e^{- x^{2}}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 2

수직점근선은 무한 불연속인 영역에서 나타납니다.

수직점근선 없음

단계 3

수평점근선을 구하려면 $lim_{x \to \infty} 8 x^{2} e^{- x^{2}}$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$8$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$8 lim_{x \to \infty} x^{2} e^{- x^{2}}$

단계 3.2

$x^{2} e^{- x^{2}}$ 을 $\frac{x^{2}}{e^{x^{2}}}$ 로 바꿔 씁니다.

$8 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}}$

단계 3.3

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 3.3.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 3.3.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$8 \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

단계 3.3.1.2

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$8 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

단계 3.3.1.3

지수 $x^{2}$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{x^{2}}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$8 \frac{\infty}{\infty}$

단계 3.3.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$8 \frac{\infty}{\infty}$

단계 3.3.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

단계 3.3.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.3.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$8 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

단계 3.3.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

단계 3.3.3.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$8 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3.3.3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3.3.3.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$8 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3.3.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{x^{2}} \cdot 2 x}$

단계 3.3.3.5

간단히 합니다.

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단계 3.3.3.5.1

$e^{x^{2}} (2 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$8 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 e^{x^{2}} x}$

단계 3.3.3.5.2

$2 e^{x^{2}} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$8 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x e^{x^{2}}}$

단계 3.3.4

소거합니다.

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단계 3.3.4.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.4.1.1

공약수로 약분합니다.

$8 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x e^{x^{2}}}$

단계 3.3.4.1.2

수식을 다시 씁니다.

$8 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x e^{x^{2}}}$

단계 3.3.4.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$8 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x e^{x^{2}}}$

단계 3.3.4.2.2

수식을 다시 씁니다.

$8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{2}}}$

단계 3.4

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{e^{x^{2}}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$8 \cdot 0$

단계 3.5

$8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$

단계 4

수평점근선 나열:

$y = 0$

단계 5

분자의 차수가 분모의 차수보다 작거나 같으므로 사선점근선이 존재하지 않습니다.

사선점근선 없음

단계 6

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선 없음

수평점근선: $y = 0$

사선점근선 없음

단계 7