미적분 예제

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 80$

단계 1

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 80$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$4 x^{3}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (x^{3}) - 36 x^{2} + 96 x - 80$

단계 1.2

$- 36 x^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 96 x - 80$

단계 1.3

$96 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) - 80$

단계 1.4

$- 80$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 20$

단계 1.5

$4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2})$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 20$

단계 1.6

$4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 20$

단계 1.7

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 20$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 20)$

단계 2

유리근 정리르 이용하여 $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 20$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

단계 2.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

단계 2.3

$2$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $2$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$2$ 을 다항식에 대입합니다.

$2^{3} - 9 \cdot 2^{2} + 24 \cdot 2 - 20$

단계 2.3.2

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$8 - 9 \cdot 2^{2} + 24 \cdot 2 - 20$

단계 2.3.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$8 - 9 \cdot 4 + 24 \cdot 2 - 20$

단계 2.3.4

$- 9$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$8 - 36 + 24 \cdot 2 - 20$

단계 2.3.5

$8$ 에서 $36$ 을 뺍니다.

$- 28 + 24 \cdot 2 - 20$

단계 2.3.6

$24$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 28 + 48 - 20$

단계 2.3.7

$- 28$ 를 $48$ 에 더합니다.

$20 - 20$

단계 2.3.8

$20$ 에서 $20$ 을 뺍니다.

$0$

단계 2.4

$2$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 2$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 20}{x - 2}$

단계 2.5

$x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 20$ 을 $x - 2$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$2$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$20$

단계 2.5.2

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$

단계 2.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

단계 2.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} - 2 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

단계 2.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$

단계 2.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$

단계 2.5.7

피제수 $- 7 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$

단계 2.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$

단계 2.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 7 x^{2} + 14 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$

단계 2.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$10 x$

단계 2.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$10 x$	-	$20$

단계 2.5.12

피제수 $10 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$10 x$	-	$20$

단계 2.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$10 x$	-	$20$
							+	$10 x$	-	$20$

단계 2.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $10 x - 20$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$10 x$	-	$20$
							-	$10 x$	+	$20$

단계 2.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$10 x$	-	$20$
							-	$10 x$	+	$20$
										$0$

단계 2.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} - 7 x + 10$

단계 2.6

$x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 20$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$4 ((x - 2) (x^{2} - 7 x + 10))$

단계 3

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 7 x + 10$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 7 x + 10$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $10$ 이고 합은 $- 7$ 입니다.

$- 5, - 2$

단계 3.1.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$4 ((x - 2) ((x - 5) (x - 2)))$

단계 3.1.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$4 ((x - 2) (x - 5) (x - 2))$

단계 3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$4 (x - 2) (x - 5) (x - 2)$

단계 4

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x - 2$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 ({(x - 2)}^{1} (x - 2)) (x - 5)$

단계 4.2

$x - 2$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1}) (x - 5)$

단계 4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 {(x - 2)}^{1 + 1} (x - 5)$

단계 4.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 {(x - 2)}^{2} (x - 5)$