미적분 예제

$3 x {(2 x + 3)}^{- 0.5}$

단계 1

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \int x {(2 x + 3)}^{- 0.5} d x$

단계 2

먼저 $u_{1} = 2 x + 3$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u_{1} = 2 x + 3$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$2 x + 3$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

단계 2.1.2

합의 법칙에 의해 $2 x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.1

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$2 + 0$

단계 2.1.4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$

단계 2.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) {u_{1}}^{- 0.5} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{1}{2}$ 와 ${u_{1}}^{- 0.5}$ 을 묶습니다.

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{{u_{1}}^{- 0.5}}{2} d u_{1}$

단계 3.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${u_{1}}^{- 0.5}$ 를 분모로 이동합니다.

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2 {u_{1}}^{0.5}} d u_{1}$

단계 4

먼저 $u_{2} = 2 {u_{1}}^{0.5}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = \frac{1}{{u_{1}}^{0.5}} d u_{1}$ 이므로 ${u_{1}}^{0.5} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u_{2} = 2 {u_{1}}^{0.5}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$2 {u_{1}}^{0.5}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [2 {u_{1}}^{0.5}]$

단계 4.1.2

$2$ 은 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로 $u_{1}$ 에 대한 $2 {u_{1}}^{0.5}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{0.5}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{0.5}]$

단계 4.1.3

$n = 0.5$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (0.5 {u_{1}}^{- 0.5})$

단계 4.1.4

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

$0.5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$1 {u_{1}}^{- 0.5}$

단계 4.1.4.2

${u_{1}}^{- 0.5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${u_{1}}^{- 0.5}$

단계 4.1.5

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{{u_{1}}^{0.5}}$

단계 4.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$3 \int (\frac{\frac{{u_{2}}^{2}}{4}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2}}{4}}{2}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} \cdot \frac{1}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 5.2

$\frac{{u_{2}}^{2}}{4}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4 \cdot 2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 5.3

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{8} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 6

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 (\frac{1}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 1 \cdot 3) \frac{1}{2} d u_{2})$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{1}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3) \frac{1}{2} d u_{2})$

단계 7.2

$\frac{1}{2}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3) \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 8

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2})$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{3}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2 \cdot 2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2}$

단계 9.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{4} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2}$

단계 10

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{3}{4} (\int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} d u_{2} + \int - 3 d u_{2})$

단계 11

$\frac{1}{4}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int - 3 d u_{2})$

단계 12

멱의 법칙에 의해 ${u_{2}}^{2}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int - 3 d u_{2})$

단계 13

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) - 3 u_{2} + C)$

단계 14

간단히 합니다.

$\frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{3}}{12} - 3 u_{2}) + C$

단계 15

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

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단계 15.1

$u_{2}$ 를 모두 $2 {u_{1}}^{0.5}$ 로 바꿉니다.

$\frac{3}{4} (\frac{{(2 {u_{1}}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {u_{1}}^{0.5})) + C$

단계 15.2

$u_{1}$ 를 모두 $2 x + 3$ 로 바꿉니다.

$\frac{3}{4} (\frac{{(2 {(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

단계 16

간단히 합니다.

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단계 16.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 16.1.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 16.1.1.1

$2 {(2 x + 3)}^{0.5}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{3}{4} (\frac{2^{3} {({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

단계 16.1.1.2

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{3}{4} (\frac{8 {({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

단계 16.1.1.3

${({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 16.1.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{3}{4} (\frac{8 {(2 x + 3)}^{0.5 \cdot 3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

단계 16.1.1.3.2

$0.5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{4} (\frac{8 {(2 x + 3)}^{1.5}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

단계 16.1.2

$8$ 및 $12$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1.2.1

$8 {(2 x + 3)}^{1.5}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

단계 16.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1.2.2.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{4 (3)} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

단계 16.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{4 \cdot 3} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

단계 16.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

단계 16.1.3

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

단계 16.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 6 {(2 x + 3)}^{0.5}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

단계 16.3

$- 6 {(2 x + 3)}^{0.5}$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} + \frac{- 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3}) + C$

단계 16.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3} + C$

단계 16.5

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 16.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3} + C$

단계 16.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3) + C$

단계 16.6

$3$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

단계 16.7

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

단계 16.8

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.8.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 (2)} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

단계 16.8.2

$2 {(2 x + 3)}^{1.5}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 (2)} (2 ({(2 x + 3)}^{1.5})) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

단계 16.8.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

단계 16.8.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} {(2 x + 3)}^{1.5} + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

단계 16.9

$\frac{1}{2}$ 와 ${(2 x + 3)}^{1.5}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

단계 16.10

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.10.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 (2)} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

단계 16.10.2

$- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

단계 16.10.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

단계 16.10.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2} (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

단계 16.11

$- 9$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{- 9}{2} {(2 x + 3)}^{0.5} + C$

단계 16.12

$\frac{- 9}{2}$ 와 ${(2 x + 3)}^{0.5}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

단계 16.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5} - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

단계 16.14

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.14.1

${(2 x + 3)}^{1.5} - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}$ 에서 ${(2 x + 3)}^{0.5}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.14.1.1

${(2 x + 3)}^{1.5}$ 에서 ${(2 x + 3)}^{0.5}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

단계 16.14.1.2

$- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}$ 에서 ${(2 x + 3)}^{0.5}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 9}{2} + C$

단계 16.14.1.3

${(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 9$ 에서 ${(2 x + 3)}^{0.5}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3 - 9)}{2} + C$

단계 16.14.2

$3$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x - 6)}{2} + C$

단계 16.14.3

$2 x - 6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.14.3.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 (x) - 6)}{2} + C$

단계 16.14.3.2

$- 6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 2 \cdot - 3)}{2} + C$

단계 16.14.3.3

$2 x + 2 \cdot - 3$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 (x - 3))}{2} + C$

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 2 (x - 3)}{2} + C$

단계 16.15

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.15.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 2 (x - 3)}{2} + C$

단계 16.15.2

${(2 x + 3)}^{0.5} (x - 3)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

${(2 x + 3)}^{0.5} (x - 3) + C$

단계 16.16

분배 법칙을 적용합니다.

${(2 x + 3)}^{0.5} x + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 3 + C$

단계 16.17

${(2 x + 3)}^{0.5}$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

${(2 x + 3)}^{0.5} x - 3 \cdot {(2 x + 3)}^{0.5} + C$

단계 16.18

${(2 x + 3)}^{0.5} x - 3 {(2 x + 3)}^{0.5}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x {(2 x + 3)}^{0.5} - 3 {(2 x + 3)}^{0.5} + C$