미적분 예제

$f (x) = \ln (2 - x^{2} + 2 x^{4})$ ; $x = 1$

단계 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$y = \ln (2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$

단계 1.2

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = \ln (2 - 1^{2} + 2 {(1)}^{4})$

단계 1.2.2

괄호를 제거합니다.

$y = \ln (2 - 1^{2} + 2 \cdot 1^{4})$

단계 1.2.3

괄호를 제거합니다.

$y = \ln (2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$

단계 1.2.4

$\ln (2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y = \ln (2 - 1 \cdot 1 + 2 {(1)}^{4})$

단계 1.2.4.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \ln (2 - 1 + 2 {(1)}^{4})$

단계 1.2.4.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y = \ln (2 - 1 + 2 \cdot 1)$

단계 1.2.4.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \ln (2 - 1 + 2)$

단계 1.2.4.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.4.2.1

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$y = \ln (1 + 2)$

단계 1.2.4.2.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y = \ln (3)$

단계 2

1차 도함수를 구하고 $x = 1$ , $y = \ln (3)$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 2 - x^{2} + 2 x^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 - x^{2} + 2 x^{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x^{4}]$

단계 2.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x^{4}]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $2 - x^{2} + 2 x^{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x^{4}]$

단계 2.2

미분합니다.

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단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $2 - x^{2} + 2 x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

단계 2.2.2

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

단계 2.2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

단계 2.2.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

단계 2.2.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

단계 2.2.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

단계 2.2.7

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{4}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 2.2.8

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 2 (4 x^{3}))$

단계 2.2.9

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.9.1

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 8 x^{3})$

단계 2.2.9.2

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 8 x^{3})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(- 2 x + 8 x^{3}) \frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}}$

단계 2.3

$x = 1$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) (\frac{1}{2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4}})$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 \cdot 1 + 2 {(1)}^{4}}$

단계 2.4.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 + 2 {(1)}^{4}}$

단계 2.4.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 + 2 \cdot 1}$

단계 2.4.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 + 2}$

단계 2.4.1.5

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{1 + 2}$

단계 2.4.1.6

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{3}$

단계 2.4.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1.1

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(- 2 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{3}$

단계 2.4.2.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$(- 2 + 8 \cdot 1) \frac{1}{3}$

단계 2.4.2.1.3

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(- 2 + 8) \frac{1}{3}$

단계 2.4.2.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1

$- 2$ 를 $8$ 에 더합니다.

$6 (\frac{1}{3})$

단계 2.4.2.2.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.2.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (2) \frac{1}{3}$

단계 2.4.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$3 \cdot 2 \frac{1}{3}$

단계 2.4.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$2$

단계 3

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

기울기 $2$ 과 주어진 점 $(1, \ln (3))$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (\ln (3)) = 2 \cdot (x - (1))$

단계 3.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - \ln (3) = 2 \cdot (x - 1)$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$2 \cdot (x - 1)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

다시 씁니다.

$y - \ln (3) = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 1)$

단계 3.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - \ln (3) = 2 \cdot (x - 1)$

단계 3.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - \ln (3) = 2 x + 2 \cdot - 1$

단계 3.3.1.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y - \ln (3) = 2 x - 2$

단계 3.3.2

방정식의 양변에 $\ln (3)$ 를 더합니다.

$y = 2 x - 2 + \ln (3)$

단계 4