미적분 예제

$\sin (2 x) \geq \sin (x)$

단계 1

부등식의 양변에서 $\sin (x)$ 를 뺍니다.

$\sin (2 x) - \sin (x) \geq 0$

단계 2

사인 배각 공식을 적용합니다.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) \geq 0$

단계 3

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$2 \sin (x) \cos (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

단계 3.2

$- \sin (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

단계 3.3

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

단계 4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

단계 5

$\sin (x)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\sin (x)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\sin (x) = 0$

단계 5.2

$\sin (x) = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (0)$

단계 5.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$\arcsin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 5.2.3

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = π - 0$

단계 5.2.4

$π$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$x = π$

단계 5.2.5

$\sin (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 5.2.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 5.2.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 5.2.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 5.2.6

함수 $\sin (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 2 π n, π + 2 π n$

단계 6

$2 \cos (x) - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$2 \cos (x) - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 \cos (x) - 1 = 0$

단계 6.2

$2 \cos (x) - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$2 \cos (x) = 1$

단계 6.2.2

$2 \cos (x) = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$2 \cos (x) = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

단계 6.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

단계 6.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

단계 6.2.3

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

단계 6.2.4

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.4.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{3}$ 입니다.

$x = \frac{π}{3}$

단계 6.2.5

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

단계 6.2.6

$2 π - \frac{π}{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.6.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

단계 6.2.6.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.6.2.1

$2 π$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

단계 6.2.6.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

단계 6.2.6.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.6.3.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 π - π}{3}$

단계 6.2.6.3.2

$6 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{5 π}{3}$

단계 6.2.7

$\cos (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.7.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 6.2.7.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 6.2.7.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 6.2.7.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 6.2.8

함수 $\cos (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$

단계 7

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$

단계 8

$2 π n$ , $π + 2 π n$ 를 $π n$ 에 통합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$

단계 9

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$0 < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < π$

$π < x < \frac{5 π}{3}$

$\frac{5 π}{3} < x < 2 π$

$2 π < x < \frac{7 π}{3}$

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$

단계 10

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$0 < x < \frac{π}{3}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$0 < x < \frac{π}{3}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 1$

단계 10.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $1$ 로 치환합니다.

$\sin (2 (1)) \geq \sin (1)$

단계 10.1.3

좌변 $0.90929742$ 가 우변 $0.84147098$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 10.2

$\frac{π}{3} < x < π$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$\frac{π}{3} < x < π$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

단계 10.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

$\sin (2 (2)) \geq \sin (2)$

단계 10.2.3

좌변 $- 0.75680249$ 이 우변 $0.90929742$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 10.3

$π < x < \frac{5 π}{3}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

$π < x < \frac{5 π}{3}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 10.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$\sin (2 (4)) \geq \sin (4)$

단계 10.3.3

좌변 $0.98935824$ 가 우변 $- 0.75680249$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 10.4

$\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.1

$\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 10.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

$\sin (2 (6)) \geq \sin (6)$

단계 10.4.3

좌변 $- 0.53657291$ 이 우변 $- 0.27941549$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 10.5

$2 π < x < \frac{7 π}{3}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.1

$2 π < x < \frac{7 π}{3}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 7$

단계 10.5.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $7$ 로 치환합니다.

$\sin (2 (7)) \geq \sin (7)$

단계 10.5.3

좌변 $0.99060735$ 가 우변 $0.65698659$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 10.6

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.6.1

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 9$

단계 10.6.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $9$ 로 치환합니다.

$\sin (2 (9)) \geq \sin (9)$

단계 10.6.3

좌변 $- 0.75098724$ 이 우변 $0.41211848$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 10.7

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$0 < x < \frac{π}{3}$ 참

$\frac{π}{3} < x < π$ 거짓

$π < x < \frac{5 π}{3}$ 참

$\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ 거짓

$2 π < x < \frac{7 π}{3}$ 참

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ 거짓

$0 < x < \frac{π}{3}$ 참

$\frac{π}{3} < x < π$ 거짓

$π < x < \frac{5 π}{3}$ 참

$\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ 거짓

$2 π < x < \frac{7 π}{3}$ 참

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ 거짓

단계 11

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$0 + 2 π n \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 π n$ or $π + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 π n$ or $2 π + 2 π n \leq x \leq \frac{7 π}{3} + 2 π n$ , for any integer $n$

단계 12

구간을 조합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $π + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 π n or 2 π n \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 π n or 2 π + 2 π n \leq x \leq \frac{7 π}{3} + 2 π n$

단계 13

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$[2 π + 2 π n, \frac{7 π}{3} + 2 π n] \cup [π + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n] \cup [2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n]$

단계 14