미적분 예제

$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) = \frac{d}{d x} (1)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

단계 2.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{1}{y}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.3.2

$f (x) = 1$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- x^{- 2} - \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.3.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- x^{- 2} - \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$- x^{- 2} - \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.3.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$- x^{- 2} - \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

단계 2.3.6

$y$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- x^{- 2} - \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

단계 2.3.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- x^{- 2} - \frac{0 - y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

단계 2.3.8

$0$ 에서 $y'$ 을 뺍니다.

$- x^{- 2} - \frac{- y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

단계 2.3.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- x^{- 2} - - \frac{y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

단계 2.3.10

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- x^{- 2} + 1 \frac{y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

단계 2.3.11

$\frac{y'}{y^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- x^{- 2} + \frac{y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

단계 2.3.12

$\frac{1}{y}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- x^{- 2} + \frac{y'}{y^{2}} + 0$

단계 2.3.13

$\frac{y'}{y^{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- x^{- 2} + \frac{y'}{y^{2}}$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{y'}{y^{2}}$

단계 2.4.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{y'}{y^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

단계 3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$\frac{y'}{y^{2}} - \frac{1}{x^{2}} = 0$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

방정식의 양변에 $\frac{1}{x^{2}}$ 를 더합니다.

$\frac{y'}{y^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

단계 5.2

양변에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{y'}{y^{2}} y^{2} = \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

단계 5.3

간단히 합니다.

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단계 5.3.1

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1.1

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y'}{y^{2}} y^{2} = \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

단계 5.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

단계 5.3.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$y' = \frac{y^{2}}{x^{2}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}}$