미적분 예제

$x^{5 y} = y^{6 x}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x^{5 y}) = \frac{d}{d x} (y^{6 x})$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

$f = x$ , $g = 5 y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ 는 $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ 이라는 일반적인 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x] (5 y x^{5 y - 1}) + \frac{d}{d x} [5 y] (x^{5 y} \ln (x))$

단계 2.2

미분합니다.

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단계 2.2.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 (5 y x^{5 y - 1}) + \frac{d}{d x} [5 y] (x^{5 y} \ln (x))$

단계 2.2.2

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 (y x^{5 y - 1}) + \frac{d}{d x} [5 y] (x^{5 y} \ln (x))$

단계 2.2.3

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 y$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [y]$ 입니다.

$5 y x^{5 y - 1} + 5 \frac{d}{d x} [y] (x^{5 y} \ln (x))$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$5 y x^{5 y - 1} + 5 y' (x^{5 y} \ln (x))$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$5 x^{5 y - 1} y + 5 x^{5 y} \ln (x) y'$

단계 2.4.2

$5 x^{5 y - 1} y + 5 x^{5 y} \ln (x) y'$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$5 y x^{5 y - 1} + 5 x^{5 y} \ln (x) y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f = y$ , $g = 6 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ 는 $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ 이라는 일반적인 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [y] (6 x y^{6 x - 1}) + \frac{d}{d x} [6 x] (y^{6 x} \ln (y))$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + \frac{d}{d x} [6 x] (y^{6 x} \ln (y))$

단계 3.3

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + 6 \frac{d}{d x} [x] (y^{6 x} \ln (y))$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + 6 \cdot 1 (y^{6 x} \ln (y))$

단계 3.5

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + 6 (y^{6 x} \ln (y))$

단계 3.6

간단히 합니다.

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단계 3.6.1

항을 다시 정렬합니다.

$6 y^{6 x - 1} x y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$

단계 3.6.2

$6 y^{6 x - 1} x y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$6 x y^{6 x - 1} y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$5 y x^{5 y - 1} + 5 x^{5 y} \ln (x) y' = 6 x y^{6 x - 1} y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$5 x^{5 y} \ln (x) y' - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y^{6 x - 1} y'$

단계 5.2

$5 x^{5 y} \ln (x) y' - 6 y^{6 x} \ln (y)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$5 y' x^{5 y} \ln (x) - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y^{6 x - 1} y'$

단계 5.3

$- 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y^{6 x - 1} y'$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$5 y' x^{5 y} \ln (x) - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

단계 5.4

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.4.1.1

$5$ 를 로그 안으로 옮겨 $5 \ln (x)$ 을 간단히 합니다.

$y' x^{5 y} \ln (x^{5}) - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

단계 5.4.1.2

$6$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 6 \ln (y)$ 을 간단히 합니다.

$y' x^{5 y} \ln (x^{5}) + y^{6 x} (- \ln (y^{6})) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

단계 5.4.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y' x^{5 y} \ln (x^{5}) - y^{6 x} \ln (y^{6}) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

단계 5.5

$y' x^{5 y} \ln (x^{5}) - y^{6 x} \ln (y^{6})$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - \ln (y^{6}) y^{6 x} = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

단계 5.6

방정식의 양변에서 $6 x y' y^{6 x - 1}$ 를 뺍니다.

$y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - \ln (y^{6}) y^{6 x} - 6 x y' y^{6 x - 1} = - 5 y x^{5 y - 1}$

단계 5.7

방정식의 양변에 $\ln (y^{6}) y^{6 x}$ 를 더합니다.

$y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y' y^{6 x - 1} = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

단계 5.8

$y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y' y^{6 x - 1}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.8.1

$y' \ln (x^{5}) x^{5 y}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y}) - 6 x y' y^{6 x - 1} = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

단계 5.8.2

$- 6 x y' y^{6 x - 1}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y}) + y' (- 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

단계 5.8.3

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y}) + y' (- 6 x y^{6 x - 1})$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

단계 5.9

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$ 의 각 항을 $\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.9.1

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$ 의 각 항을 $\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}} = \frac{- 5 y x^{5 y - 1}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}} + \frac{\ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

단계 5.9.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.9.2.1

$\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.9.2.1.1

공약수로 약분합니다.

단계 5.9.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 5 y x^{5 y - 1}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}} + \frac{\ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

단계 5.9.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.9.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{- 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

단계 5.9.3.2

$- 5 y x^{5 y - 1}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (5 y x^{5 y - 1}) + \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

단계 5.9.3.3

$\ln (y^{6}) y^{6 x}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (5 y x^{5 y - 1}) - (- \ln (y^{6}) y^{6 x})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

단계 5.9.3.4

$- (5 y x^{5 y - 1}) - (- \ln (y^{6}) y^{6 x})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

단계 5.9.3.5

식을 간단히 합니다.

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단계 5.9.3.5.1

$- (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})$ 을 $- 1 (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{- 1 (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

단계 5.9.3.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$