미적분 예제

$f (z) = (16 z^{4} + 4 z^{2} + 1) (4 z^{3} - z)$

단계 1

$f (z) = 16 z^{4} + 4 z^{2} + 1$ , $g (z) = 4 z^{3} - z$ 일 때 $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ 는 $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(16 z^{4} + 4 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [4 z^{3} - z] + (4 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [16 z^{4} + 4 z^{2} + 1]$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $4 z^{3} - z$ 를 $z$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d z} [4 z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z]$ 가 됩니다.

$(16 z^{4} + 4 z^{2} + 1) (\frac{d}{d z} [4 z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z]) + (4 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [16 z^{4} + 4 z^{2} + 1]$

단계 2.2

$4$ 은 $z$ 에 대해 일정하므로 $z$ 에 대한 $4 z^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d z} [z^{3}]$ 입니다.

$(16 z^{4} + 4 z^{2} + 1) (4 \frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z]) + (4 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [16 z^{4} + 4 z^{2} + 1]$

단계 2.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 는 $n z^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(16 z^{4} + 4 z^{2} + 1) (4 (3 z^{2}) + \frac{d}{d z} [- z]) + (4 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [16 z^{4} + 4 z^{2} + 1]$

단계 2.4

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$(16 z^{4} + 4 z^{2} + 1) (12 z^{2} + \frac{d}{d z} [- z]) + (4 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [16 z^{4} + 4 z^{2} + 1]$

단계 2.5

$- 1$ 은 $z$ 에 대해 일정하므로 $z$ 에 대한 $- z$ 의 미분은 $- \frac{d}{d z} [z]$ 입니다.

$(16 z^{4} + 4 z^{2} + 1) (12 z^{2} - \frac{d}{d z} [z]) + (4 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [16 z^{4} + 4 z^{2} + 1]$

단계 2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 는 $n z^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(16 z^{4} + 4 z^{2} + 1) (12 z^{2} - 1 \cdot 1) + (4 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [16 z^{4} + 4 z^{2} + 1]$

단계 2.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(16 z^{4} + 4 z^{2} + 1) (12 z^{2} - 1) + (4 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [16 z^{4} + 4 z^{2} + 1]$

단계 2.8

합의 법칙에 의해 $16 z^{4} + 4 z^{2} + 1$ 를 $z$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d z} [16 z^{4}] + \frac{d}{d z} [4 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ 가 됩니다.

$(16 z^{4} + 4 z^{2} + 1) (12 z^{2} - 1) + (4 z^{3} - z) (\frac{d}{d z} [16 z^{4}] + \frac{d}{d z} [4 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

단계 2.9

$16$ 은 $z$ 에 대해 일정하므로 $z$ 에 대한 $16 z^{4}$ 의 미분은 $16 \frac{d}{d z} [z^{4}]$ 입니다.

$(16 z^{4} + 4 z^{2} + 1) (12 z^{2} - 1) + (4 z^{3} - z) (16 \frac{d}{d z} [z^{4}] + \frac{d}{d z} [4 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

단계 2.10

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 는 $n z^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(16 z^{4} + 4 z^{2} + 1) (12 z^{2} - 1) + (4 z^{3} - z) (16 (4 z^{3}) + \frac{d}{d z} [4 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

단계 2.11

$4$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$(16 z^{4} + 4 z^{2} + 1) (12 z^{2} - 1) + (4 z^{3} - z) (64 z^{3} + \frac{d}{d z} [4 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

단계 2.12

$4$ 은 $z$ 에 대해 일정하므로 $z$ 에 대한 $4 z^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ 입니다.

$(16 z^{4} + 4 z^{2} + 1) (12 z^{2} - 1) + (4 z^{3} - z) (64 z^{3} + 4 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

단계 2.13

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 는 $n z^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(16 z^{4} + 4 z^{2} + 1) (12 z^{2} - 1) + (4 z^{3} - z) (64 z^{3} + 4 (2 z) + \frac{d}{d z} [1])$

단계 2.14

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$(16 z^{4} + 4 z^{2} + 1) (12 z^{2} - 1) + (4 z^{3} - z) (64 z^{3} + 8 z + \frac{d}{d z} [1])$

단계 2.15

$1$ 이 $z$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $z$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$(16 z^{4} + 4 z^{2} + 1) (12 z^{2} - 1) + (4 z^{3} - z) (64 z^{3} + 8 z + 0)$

단계 2.16

$64 z^{3} + 8 z$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(16 z^{4} + 4 z^{2} + 1) (12 z^{2} - 1) + (4 z^{3} - z) (64 z^{3} + 8 z)$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$(16 z^{4} + 4 z^{2} + 1) (12 z^{2} - 1) + (4 z^{3} - z) (64 z^{3} + 8 z)$ 에서 $1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$(16 z^{4} + 4 z^{2} + 1) (12 z^{2} - 1)$ 에서 $1$ 를 인수분해합니다.

$1 ((16 z^{4} + 4 z^{2} + 1) (12 z^{2} - 1)) + (4 z^{3} - z) (64 z^{3} + 8 z)$

단계 3.1.2

$(4 z^{3} - z) (64 z^{3} + 8 z)$ 에서 $1$ 를 인수분해합니다.

$1 ((16 z^{4} + 4 z^{2} + 1) (12 z^{2} - 1)) + 1 ((4 z^{3} - z) (64 z^{3} + 8 z))$

단계 3.1.3

$1 ((16 z^{4} + 4 z^{2} + 1) (12 z^{2} - 1)) + 1 ((4 z^{3} - z) (64 z^{3} + 8 z))$ 에서 $1$ 를 인수분해합니다.

$1 ((16 z^{4} + 4 z^{2} + 1) (12 z^{2} - 1) + (4 z^{3} - z) (64 z^{3} + 8 z))$

단계 3.2

$(16 z^{4} + 4 z^{2} + 1) (12 z^{2} - 1) + (4 z^{3} - z) (64 z^{3} + 8 z)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(16 z^{4} + 4 z^{2} + 1) (12 z^{2} - 1) + (4 z^{3} - z) (64 z^{3} + 8 z)$

단계 3.3

항을 다시 정렬합니다.

$(12 z^{2} - 1) (16 z^{4} + 4 z^{2} + 1) + (4 z^{3} - z) (64 z^{3} + 8 z)$

단계 3.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(12 z^{2} - 1) (16 z^{4} + 4 z^{2} + 1)$ 를 전개합니다.

$12 z^{2} (16 z^{4}) + 12 z^{2} (4 z^{2}) + 12 z^{2} \cdot 1 - 1 (16 z^{4}) - 1 (4 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (4 z^{3} - z) (64 z^{3} + 8 z)$

단계 3.4.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$12 \cdot 16 z^{2} z^{4} + 12 z^{2} (4 z^{2}) + 12 z^{2} \cdot 1 - 1 (16 z^{4}) - 1 (4 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (4 z^{3} - z) (64 z^{3} + 8 z)$

단계 3.4.2.2

지수를 더하여 $z^{2}$ 에 $z^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.2.1

$z^{4}$ 를 옮깁니다.

$12 \cdot 16 (z^{4} z^{2}) + 12 z^{2} (4 z^{2}) + 12 z^{2} \cdot 1 - 1 (16 z^{4}) - 1 (4 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (4 z^{3} - z) (64 z^{3} + 8 z)$

단계 3.4.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$12 \cdot 16 z^{4 + 2} + 12 z^{2} (4 z^{2}) + 12 z^{2} \cdot 1 - 1 (16 z^{4}) - 1 (4 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (4 z^{3} - z) (64 z^{3} + 8 z)$

단계 3.4.2.2.3

$4$ 를 $2$ 에 더합니다.

$12 \cdot 16 z^{6} + 12 z^{2} (4 z^{2}) + 12 z^{2} \cdot 1 - 1 (16 z^{4}) - 1 (4 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (4 z^{3} - z) (64 z^{3} + 8 z)$

단계 3.4.2.3

$12$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$192 z^{6} + 12 z^{2} (4 z^{2}) + 12 z^{2} \cdot 1 - 1 (16 z^{4}) - 1 (4 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (4 z^{3} - z) (64 z^{3} + 8 z)$

단계 3.4.2.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$192 z^{6} + 12 \cdot 4 z^{2} z^{2} + 12 z^{2} \cdot 1 - 1 (16 z^{4}) - 1 (4 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (4 z^{3} - z) (64 z^{3} + 8 z)$

단계 3.4.2.5

지수를 더하여 $z^{2}$ 에 $z^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.5.1

$z^{2}$ 를 옮깁니다.

$192 z^{6} + 12 \cdot 4 (z^{2} z^{2}) + 12 z^{2} \cdot 1 - 1 (16 z^{4}) - 1 (4 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (4 z^{3} - z) (64 z^{3} + 8 z)$

단계 3.4.2.5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$192 z^{6} + 12 \cdot 4 z^{2 + 2} + 12 z^{2} \cdot 1 - 1 (16 z^{4}) - 1 (4 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (4 z^{3} - z) (64 z^{3} + 8 z)$

단계 3.4.2.5.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$192 z^{6} + 12 \cdot 4 z^{4} + 12 z^{2} \cdot 1 - 1 (16 z^{4}) - 1 (4 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (4 z^{3} - z) (64 z^{3} + 8 z)$

단계 3.4.2.6

$12$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$192 z^{6} + 48 z^{4} + 12 z^{2} \cdot 1 - 1 (16 z^{4}) - 1 (4 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (4 z^{3} - z) (64 z^{3} + 8 z)$

단계 3.4.2.7

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$192 z^{6} + 48 z^{4} + 12 z^{2} - 1 (16 z^{4}) - 1 (4 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (4 z^{3} - z) (64 z^{3} + 8 z)$

단계 3.4.2.8

$16$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$192 z^{6} + 48 z^{4} + 12 z^{2} - 16 z^{4} - 1 (4 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (4 z^{3} - z) (64 z^{3} + 8 z)$

단계 3.4.2.9

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$192 z^{6} + 48 z^{4} + 12 z^{2} - 16 z^{4} - 4 z^{2} - 1 \cdot 1 + (4 z^{3} - z) (64 z^{3} + 8 z)$

단계 3.4.2.10

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$192 z^{6} + 48 z^{4} + 12 z^{2} - 16 z^{4} - 4 z^{2} - 1 + (4 z^{3} - z) (64 z^{3} + 8 z)$

단계 3.4.3

$48 z^{4}$ 에서 $16 z^{4}$ 을 뺍니다.

$192 z^{6} + 32 z^{4} + 12 z^{2} - 4 z^{2} - 1 + (4 z^{3} - z) (64 z^{3} + 8 z)$

단계 3.4.4

$12 z^{2}$ 에서 $4 z^{2}$ 을 뺍니다.

$192 z^{6} + 32 z^{4} + 8 z^{2} - 1 + (4 z^{3} - z) (64 z^{3} + 8 z)$

단계 3.4.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(4 z^{3} - z) (64 z^{3} + 8 z)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$192 z^{6} + 32 z^{4} + 8 z^{2} - 1 + 4 z^{3} (64 z^{3} + 8 z) - z (64 z^{3} + 8 z)$

단계 3.4.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$192 z^{6} + 32 z^{4} + 8 z^{2} - 1 + 4 z^{3} (64 z^{3}) + 4 z^{3} (8 z) - z (64 z^{3} + 8 z)$

단계 3.4.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$192 z^{6} + 32 z^{4} + 8 z^{2} - 1 + 4 z^{3} (64 z^{3}) + 4 z^{3} (8 z) - z (64 z^{3}) - z (8 z)$

단계 3.4.6

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$192 z^{6} + 32 z^{4} + 8 z^{2} - 1 + 4 \cdot 64 z^{3} z^{3} + 4 z^{3} (8 z) - z (64 z^{3}) - z (8 z)$

단계 3.4.6.1.2

지수를 더하여 $z^{3}$ 에 $z^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1.2.1

$z^{3}$ 를 옮깁니다.

$192 z^{6} + 32 z^{4} + 8 z^{2} - 1 + 4 \cdot 64 (z^{3} z^{3}) + 4 z^{3} (8 z) - z (64 z^{3}) - z (8 z)$

단계 3.4.6.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$192 z^{6} + 32 z^{4} + 8 z^{2} - 1 + 4 \cdot 64 z^{3 + 3} + 4 z^{3} (8 z) - z (64 z^{3}) - z (8 z)$

단계 3.4.6.1.2.3

$3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$192 z^{6} + 32 z^{4} + 8 z^{2} - 1 + 4 \cdot 64 z^{6} + 4 z^{3} (8 z) - z (64 z^{3}) - z (8 z)$

단계 3.4.6.1.3

$4$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$192 z^{6} + 32 z^{4} + 8 z^{2} - 1 + 256 z^{6} + 4 z^{3} (8 z) - z (64 z^{3}) - z (8 z)$

단계 3.4.6.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$192 z^{6} + 32 z^{4} + 8 z^{2} - 1 + 256 z^{6} + 4 \cdot 8 z^{3} z - z (64 z^{3}) - z (8 z)$

단계 3.4.6.1.5

지수를 더하여 $z^{3}$ 에 $z$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1.5.1

$z$ 를 옮깁니다.

$192 z^{6} + 32 z^{4} + 8 z^{2} - 1 + 256 z^{6} + 4 \cdot 8 (z \cdot z^{3}) - z (64 z^{3}) - z (8 z)$

단계 3.4.6.1.5.2

$z$ 에 $z^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1.5.2.1

$z$ 를 $1$ 승 합니다.

$192 z^{6} + 32 z^{4} + 8 z^{2} - 1 + 256 z^{6} + 4 \cdot 8 (z^{1} z^{3}) - z (64 z^{3}) - z (8 z)$

단계 3.4.6.1.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$192 z^{6} + 32 z^{4} + 8 z^{2} - 1 + 256 z^{6} + 4 \cdot 8 z^{1 + 3} - z (64 z^{3}) - z (8 z)$

단계 3.4.6.1.5.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$192 z^{6} + 32 z^{4} + 8 z^{2} - 1 + 256 z^{6} + 4 \cdot 8 z^{4} - z (64 z^{3}) - z (8 z)$

단계 3.4.6.1.6

$4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$192 z^{6} + 32 z^{4} + 8 z^{2} - 1 + 256 z^{6} + 32 z^{4} - z (64 z^{3}) - z (8 z)$

단계 3.4.6.1.7

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$192 z^{6} + 32 z^{4} + 8 z^{2} - 1 + 256 z^{6} + 32 z^{4} - 1 \cdot 64 z \cdot z^{3} - z (8 z)$

단계 3.4.6.1.8

지수를 더하여 $z$ 에 $z^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1.8.1

$z^{3}$ 를 옮깁니다.

$192 z^{6} + 32 z^{4} + 8 z^{2} - 1 + 256 z^{6} + 32 z^{4} - 1 \cdot 64 (z^{3} z) - z (8 z)$

단계 3.4.6.1.8.2

$z^{3}$ 에 $z$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1.8.2.1

$z$ 를 $1$ 승 합니다.

$192 z^{6} + 32 z^{4} + 8 z^{2} - 1 + 256 z^{6} + 32 z^{4} - 1 \cdot 64 (z^{3} z^{1}) - z (8 z)$

단계 3.4.6.1.8.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$192 z^{6} + 32 z^{4} + 8 z^{2} - 1 + 256 z^{6} + 32 z^{4} - 1 \cdot 64 z^{3 + 1} - z (8 z)$

단계 3.4.6.1.8.3

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$192 z^{6} + 32 z^{4} + 8 z^{2} - 1 + 256 z^{6} + 32 z^{4} - 1 \cdot 64 z^{4} - z (8 z)$

단계 3.4.6.1.9

$- 1$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$192 z^{6} + 32 z^{4} + 8 z^{2} - 1 + 256 z^{6} + 32 z^{4} - 64 z^{4} - z (8 z)$

단계 3.4.6.1.10

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$192 z^{6} + 32 z^{4} + 8 z^{2} - 1 + 256 z^{6} + 32 z^{4} - 64 z^{4} - 1 \cdot 8 z \cdot z$

단계 3.4.6.1.11

지수를 더하여 $z$ 에 $z$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1.11.1

$z$ 를 옮깁니다.

$192 z^{6} + 32 z^{4} + 8 z^{2} - 1 + 256 z^{6} + 32 z^{4} - 64 z^{4} - 1 \cdot 8 (z \cdot z)$

단계 3.4.6.1.11.2

$z$ 에 $z$ 을 곱합니다.

$192 z^{6} + 32 z^{4} + 8 z^{2} - 1 + 256 z^{6} + 32 z^{4} - 64 z^{4} - 1 \cdot 8 z^{2}$

단계 3.4.6.1.12

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$192 z^{6} + 32 z^{4} + 8 z^{2} - 1 + 256 z^{6} + 32 z^{4} - 64 z^{4} - 8 z^{2}$

단계 3.4.6.2

$32 z^{4}$ 에서 $64 z^{4}$ 을 뺍니다.

$192 z^{6} + 32 z^{4} + 8 z^{2} - 1 + 256 z^{6} - 32 z^{4} - 8 z^{2}$

단계 3.5

$192 z^{6} + 32 z^{4} + 8 z^{2} - 1 + 256 z^{6} - 32 z^{4} - 8 z^{2}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$32 z^{4}$ 에서 $32 z^{4}$ 을 뺍니다.

$192 z^{6} + 8 z^{2} - 1 + 256 z^{6} + 0 - 8 z^{2}$

단계 3.5.2

$192 z^{6} + 8 z^{2} - 1 + 256 z^{6}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$192 z^{6} + 8 z^{2} - 1 + 256 z^{6} - 8 z^{2}$

단계 3.5.3

$8 z^{2}$ 에서 $8 z^{2}$ 을 뺍니다.

$192 z^{6} - 1 + 256 z^{6} + 0$

단계 3.5.4

$192 z^{6} - 1 + 256 z^{6}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$192 z^{6} - 1 + 256 z^{6}$

단계 3.6

$192 z^{6}$ 를 $256 z^{6}$ 에 더합니다.

$448 z^{6} - 1$