미적분 예제

$\frac{x y - y^{2}}{y - x} = 1$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (\frac{x y - y^{2}}{y - x}) = \frac{d}{d x} (1)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = x y - y^{2}$ , $g (x) = y - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(y - x) \frac{d}{d x} [x y - y^{2}] - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $x y - y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{(y - x) (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.3

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(y - x) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(y - x) (x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.5

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(y - x) (x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.5.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(y - x) (x y' + y + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.5.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- y^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 입니다.

$\frac{(y - x) (x y' + y - \frac{d}{d x} [y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.6

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{(y - x) (x y' + y - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.6.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(y - x) (x y' + y - (2 u \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.6.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{(y - x) (x y' + y - (2 y \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 (y \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.8

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.9

합의 법칙에 의해 $y - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.10

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.11

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' - \frac{d}{d x} [x])}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' - 1 \cdot 1)}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.13

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.14

간단히 합니다.

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단계 2.14.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.14.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.14.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.14.2.1.1

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(y - x) (x y' + y - 2 y y')$ 를 전개합니다.

$\frac{y (x y') + y \cdot y + y (- 2 y y') - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.14.2.1.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.14.2.1.2.1

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$\frac{y (x y') + y^{2} + y (- 2 y y') - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.14.2.1.2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y (y y') - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.14.2.1.2.3

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.14.2.1.2.3.1

$y$ 를 옮깁니다.

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 (y \cdot y) y' - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.14.2.1.2.3.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.14.2.1.2.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.14.2.1.2.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - (x \cdot x) y' - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.14.2.1.2.4.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.14.2.1.2.5

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 2 x y y' + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.14.2.1.3

$y (x y')$ 를 $2 x y y'$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.14.2.1.3.1

$y$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + x y y' + 2 x y y' + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.14.2.1.3.2

$x y y'$ 를 $2 x y y'$ 에 더합니다.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.14.2.1.4

$- - y^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.14.2.1.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' + (- x y + 1 y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.14.2.1.4.2

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' + (- x y + y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.14.2.1.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(- x y + y^{2}) (y' - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.14.2.1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y (y' - 1) + y^{2} (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.14.2.1.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' - x y \cdot - 1 + y^{2} (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.14.2.1.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' - x y \cdot - 1 + y^{2} y' + y^{2} \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.14.2.1.6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.14.2.1.6.1

$- x y \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 2.14.2.1.6.1.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + 1 x y + y^{2} y' + y^{2} \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.14.2.1.6.1.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' + y^{2} \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.14.2.1.6.2

$y^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' - 1 \cdot y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.14.2.1.6.3

$- 1 y^{2}$ 을 $- y^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' - y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.14.2.2

$y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' - y^{2}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 2.14.2.2.1

$- x y$ 를 $x y$ 에 더합니다.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + 0 + y^{2} y' - y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.14.2.2.2

$y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y'$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y' - y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.14.2.2.3

$y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y' + 0}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.14.2.2.4

$- 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y'$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y'}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.14.2.3

$- 2 y^{2} y'$ 를 $y^{2} y'$ 에 더합니다.

$\frac{- y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y'}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.14.2.4

$3 x y y'$ 에서 $x y y'$ 을 뺍니다.

$\frac{- y^{2} y' - x^{2} y' + 2 x y y'}{{(y - x)}^{2}}$

단계 2.14.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- y^{2} y' - x^{2} y' + 2 x y y'}{{(- x + y)}^{2}}$

단계 2.14.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.14.4.1

$- y^{2} y' - x^{2} y' + 2 x y y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.14.4.1.1

$- y^{2} y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y' (- y^{2}) - x^{2} y' + 2 x y y'}{{(- x + y)}^{2}}$

단계 2.14.4.1.2

$- x^{2} y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y' (- y^{2}) + y' (- x^{2}) + 2 x y y'}{{(- x + y)}^{2}}$

단계 2.14.4.1.3

$2 x y y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y' (- y^{2}) + y' (- x^{2}) + y' (2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

단계 2.14.4.1.4

$y' (- y^{2}) + y' (- x^{2})$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y' (- y^{2} - x^{2}) + y' (2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

단계 2.14.4.1.5

$y' (- y^{2} - x^{2}) + y' (2 x y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y' (- y^{2} - x^{2} + 2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

단계 2.14.4.2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 2.14.4.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ 이고 합이 $b = 2$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 2.14.4.2.1.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{y' (- x^{2} - y^{2} + 2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

단계 2.14.4.2.1.2

$- y^{2}$ 와 $2 x y$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{y' (- x^{2} + 2 x y - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

단계 2.14.4.2.1.3

$2 x y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y' (- x^{2} + 2 (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

단계 2.14.4.2.1.4

$2$ 를 $1$ + $1$ 로 다시 씁니다.

$\frac{y' (- x^{2} + (1 + 1) (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

단계 2.14.4.2.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y' (- x^{2} + 1 (x y) + 1 (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

단계 2.14.4.2.1.6

$x y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y' (- x^{2} + x y + 1 (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

단계 2.14.4.2.1.7

$x y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y' (- x^{2} + x y + x y - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

단계 2.14.4.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 2.14.4.2.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{y' ((- x^{2} + x y) + x y - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

단계 2.14.4.2.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{y' (x (- x + y) - y (- x + y))}{{(- x + y)}^{2}}$

단계 2.14.4.2.3

최대공약수 $- x + y$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{y' ((- x + y) (x - y))}{{(- x + y)}^{2}}$

$\frac{y' (- x + y) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

단계 2.14.4.3

지수를 묶습니다.

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단계 2.14.4.3.1

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y' (- (x) + y) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

단계 2.14.4.3.2

$y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y' (- (x) - 1 (- y)) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

단계 2.14.4.3.3

$- (x) - 1 (- y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y' (- (x - y)) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

단계 2.14.4.3.4

$- (x - y)$ 을 $- 1 (x - y)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{y' (- 1 (x - y)) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

단계 2.14.4.3.5

$x - y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{y' \cdot - 1 ({(x - y)}^{1} (x - y))}{{(- x + y)}^{2}}$

단계 2.14.4.3.6

$x - y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{y' \cdot - 1 ({(x - y)}^{1} {(x - y)}^{1})}{{(- x + y)}^{2}}$

단계 2.14.4.3.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{y' \cdot - 1 {(x - y)}^{1 + 1}}{{(- x + y)}^{2}}$

단계 2.14.4.3.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{y' \cdot - 1 {(x - y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

단계 2.14.4.4

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\frac{- y' {(x - y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

단계 2.14.5

${(x - y)}^{2}$ 및 ${(- x + y)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.14.5.1

$x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- y' {(- 1 (- x) - y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

단계 2.14.5.2

$- y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- y' {(- 1 (- x) - (y))}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

단계 2.14.5.3

$- 1 (- x) - (y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- y' {(- 1 (- x + y))}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

단계 2.14.5.4

$- 1 (- x + y)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{- y' ({(- 1)}^{2} {(- x + y)}^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

단계 2.14.5.5

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{- y' (1 {(- x + y)}^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

단계 2.14.5.6

${(- x + y)}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- y' {(- x + y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

단계 2.14.5.7

공약수로 약분합니다.

$\frac{- y' {(- x + y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

단계 2.14.5.8

$- y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- y'$

단계 3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$- y' = 0$

단계 5

$- y' = 0$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$- y' = 0$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- y'}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

단계 5.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{y'}{1} = \frac{0}{- 1}$

단계 5.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{0}{- 1}$

단계 5.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$0$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$y' = 0$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = 0$