미적분 예제

$\int \frac{\sqrt{2 + 9 \sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

단계 1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \frac{\sqrt{2 + 9 x^{\frac{1}{3}}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

단계 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2 + 9 x^{\frac{1}{3}}}$ 을(를) ${(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \frac{{(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

단계 1.3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 을(를) $x^{\frac{2}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \frac{{(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

단계 1.4

$x^{\frac{2}{3}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d x$

단계 1.5

${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d x$

단계 1.5.2

$\frac{2}{3} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 1.5.2.1

$\frac{2}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d x$

단계 1.5.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 2}{3}} d x$

단계 1.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{2}{3}} d x$

단계 2

먼저 $u = 2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} d x$ 이므로 $- d u = \frac{- 3}{x^{\frac{2}{3}}} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = 2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 + 9 x^{\frac{1}{3}}]$

단계 2.1.2

미분합니다.

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단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$

단계 2.1.2.2

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.3.1

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x^{\frac{1}{3}}$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 입니다.

$0 + 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 2.1.3.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

단계 2.1.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

단계 2.1.3.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

단계 2.1.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

단계 2.1.3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.1.3.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

단계 2.1.3.6.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

단계 2.1.3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

단계 2.1.3.8

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$0 + 9 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

단계 2.1.3.9

$9$ 와 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{9 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

단계 2.1.3.10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$0 + \frac{9}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.3.11

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$0 + \frac{3 \cdot 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.3.12

공약수로 약분합니다.

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단계 2.1.3.12.1

$3 x^{\frac{2}{3}}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$0 + \frac{3 \cdot 3}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

단계 2.1.3.12.2

공약수로 약분합니다.

$0 + \frac{3 \cdot 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.3.12.3

수식을 다시 씁니다.

$0 + \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.4

$0$ 를 $\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ 에 더합니다.

$\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{3} u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 3

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ 을 $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 5.2

간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 5.2.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 6

$u$ 를 모두 $2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{2}{9} {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}} + C$