미적분 예제

$y = {\cos (2 x)}^{x}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({\cos (2 x)}^{x})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

${\cos (2 x)}^{x}$ 을 $e^{\ln ({\cos (2 x)}^{x})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cos (2 x)}^{x})}]$

단계 3.1.2

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({\cos (2 x)}^{x})$ 을 전개합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (\cos (2 x))}]$

단계 3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x \ln (\cos (2 x))$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x \ln (\cos (2 x))$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (2 x))]$

단계 3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (2 x))]$

단계 3.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $x \ln (\cos (2 x))$ 로 바꿉니다.

$e^{x \ln (\cos (2 x))} \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (2 x))]$

단계 3.3

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (\cos (2 x))$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x \frac{d}{d x} [\ln (\cos (2 x))] + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \cos (2 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\cos (2 x)$ 로 바꿉니다.

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $\cos (2 x)$ 로 바꿉니다.

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\frac{1}{\cos (2 x)} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.5

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ 을 $\sec (2 x)$ 로 변환합니다.

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.6

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.6.2

$\cos (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{3})$ 입니다.

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.6.3

$u_{3}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.7

미분합니다.

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단계 3.7.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.7.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.7.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1)) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.7.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.7.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))) + \ln (\cos (2 x)) \cdot 1)$

단계 3.7.6

$\ln (\cos (2 x))$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))) + \ln (\cos (2 x)))$

단계 3.8

간단히 합니다.

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단계 3.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x)))) + e^{x \ln (\cos (2 x))} \ln (\cos (2 x))$

단계 3.8.2

괄호를 제거합니다.

$e^{x \ln (\cos (2 x))} x \sec (2 x) (- 2 \sin (2 x)) + e^{x \ln (\cos (2 x))} \ln (\cos (2 x))$

단계 3.8.3

항을 다시 정렬합니다.

$- 2 e^{x \ln (\cos (2 x))} x \sec (2 x) \sin (2 x) + e^{x \ln (\cos (2 x))} \ln (\cos (2 x))$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - 2 e^{x \ln (\cos (2 x))} x \sec (2 x) \sin (2 x) + e^{x \ln (\cos (2 x))} \ln (\cos (2 x))$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - 2 e^{x \ln (\cos (2 x))} x \sec (2 x) \sin (2 x) + e^{x \ln (\cos (2 x))} \ln (\cos (2 x))$