미적분 예제

$y = \frac{e^{x}}{1 + x}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x}}{1 + x})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 1 + x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

단계 3.3

미분합니다.

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단계 3.3.1

합의 법칙에 의해 $1 + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

단계 3.3.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

단계 3.3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x]$ 에 더합니다.

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + x)}^{2}}$

단계 3.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} \cdot 1}{{(1 + x)}^{2}}$

단계 3.3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x}}{{(1 + x)}^{2}}$

단계 3.4

간단히 합니다.

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단계 3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 e^{x} + x e^{x} - e^{x}}{{(1 + x)}^{2}}$

단계 3.4.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.4.2.1

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x} + x e^{x} - e^{x}}{{(1 + x)}^{2}}$

단계 3.4.2.2

$e^{x} + x e^{x} - e^{x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 3.4.2.2.1

$e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 을 뺍니다.

$\frac{x e^{x} + 0}{{(1 + x)}^{2}}$

단계 3.4.2.2.2

$x e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x e^{x}}{{(1 + x)}^{2}}$

단계 3.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{x} x}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.4.4

$\frac{e^{x} x}{{(x + 1)}^{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{x e^{x}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{x e^{x}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x e^{x}}{{(x + 1)}^{2}}$