미적분 예제

$y = - \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[4]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{4}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = - \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}})$

단계 3

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 4.1

$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 4.2

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ 을 ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 4.2.2

${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4} \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 4.2.2.2

$\frac{1}{4}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{4}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 4.2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{4}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 4.2.3

$n = - \frac{1}{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$- (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 4.4

$- 1$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$- (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 4.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 4}{4}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 4.6.2

$- 1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$- (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 5}{4}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 4.7

분수를 통분합니다.

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단계 4.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- (- \frac{1}{4} x^{- \frac{5}{4}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 4.7.2

$x^{- \frac{5}{4}}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$- - \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 4.7.3

식을 간단히 합니다.

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단계 4.7.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 4.7.3.2

$\frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 4.7.3.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{5}{4}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 4.8

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \cdot 0$

단계 4.9

식을 간단히 합니다.

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단계 4.9.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}} + 0$

단계 4.9.2

$\frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}}$