미적분 예제

$y = (x^{2} - 3 x + 3) e^{\frac{5 x}{3}}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - 3 x + 3) e^{\frac{5 x}{3}})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = x^{2} - 3 x + 3$ , $g (x) = e^{\frac{5 x}{3}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{d}{d x} [e^{\frac{5 x}{3}}] + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

단계 3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \frac{5 x}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{5 x}{3}$ 로 바꿉니다.

$(x^{2} - 3 x + 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3}]) + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

단계 3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} - 3 x + 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3}]) + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $\frac{5 x}{3}$ 로 바꿉니다.

$(x^{2} - 3 x + 3) (e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3}]) + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

단계 3.3

미분합니다.

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단계 3.3.1

$\frac{5}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{5 x}{3}$ 의 미분은 $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(x^{2} - 3 x + 3) e^{\frac{5 x}{3}} (\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x]) + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

단계 3.3.2

$\frac{5}{3}$ 와 $e^{\frac{5 x}{3}}$ 을 묶습니다.

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x] + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

단계 3.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} \cdot 1 + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

단계 3.3.4

$x^{2} - 3 x + 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

단계 3.3.5

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 3 x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])$

단계 3.3.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])$

단계 3.3.7

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

단계 3.3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

단계 3.3.9

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [3])$

단계 3.3.10

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x - 3 + 0)$

단계 3.3.11

$2 x - 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x - 3)$

단계 3.4

간단히 합니다.

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단계 3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 x \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x - 3)$

단계 3.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 x \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

단계 3.4.3

항을 묶습니다.

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단계 3.4.3.1

$x^{2}$ 와 $\frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} - 3 x \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

단계 3.4.3.2

$- 3$ 와 $\frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x \frac{- 3 (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

단계 3.4.3.3

$5$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x \frac{- 15 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

단계 3.4.3.4

$x$ 와 $\frac{- 15 e^{\frac{5 x}{3}}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + \frac{x (- 15 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

단계 3.4.3.5

$- 15$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.4.3.5.1

$x (- 15 e^{\frac{5 x}{3}})$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + \frac{3 (x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}))}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

단계 3.4.3.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.4.3.5.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + \frac{3 (x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}))}{3 (1)} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

단계 3.4.3.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + \frac{3 (x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}))}{3 \cdot 1} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

단계 3.4.3.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + \frac{x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}})}{1} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

단계 3.4.3.5.2.4

$x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}})$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

단계 3.4.3.6

$3$ 와 $\frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + \frac{3 (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

단계 3.4.3.7

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + \frac{15 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

단계 3.4.3.8

$15$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.4.3.8.1

$15 e^{\frac{5 x}{3}}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + \frac{3 (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

단계 3.4.3.8.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.4.3.8.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + \frac{3 (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3 (1)} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

단계 3.4.3.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + \frac{3 (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3 \cdot 1} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

단계 3.4.3.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{1} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

단계 3.4.3.8.2.4

$5 e^{\frac{5 x}{3}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + 5 e^{\frac{5 x}{3}} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

단계 3.4.3.9

$e^{\frac{5 x}{3}}$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + 5 e^{\frac{5 x}{3}} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) - 3 \cdot e^{\frac{5 x}{3}}$

단계 3.4.3.10

$e^{\frac{5 x}{3}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} - 5 \cdot x e^{\frac{5 x}{3}} + 2 x e^{\frac{5 x}{3}} + 5 e^{\frac{5 x}{3}} - 3 e^{\frac{5 x}{3}}$

단계 3.4.3.11

$- 5 x e^{\frac{5 x}{3}}$ 를 $2 x e^{\frac{5 x}{3}}$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} - 3 x e^{\frac{5 x}{3}} + 5 e^{\frac{5 x}{3}} - 3 e^{\frac{5 x}{3}}$

단계 3.4.3.12

$5 e^{\frac{5 x}{3}}$ 에서 $3 e^{\frac{5 x}{3}}$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} - 3 x e^{\frac{5 x}{3}} + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

단계 3.4.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} - 3 e^{\frac{5 x}{3}} x + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

단계 3.4.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1.1

다시 씁니다.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} - 3 e^{\frac{5 x}{3}} x + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

단계 3.4.5.1.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$\frac{x^{2} \cdot 5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 e^{\frac{5 x}{3}} x + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

단계 3.4.5.2

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\frac{5 x^{2} e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 e^{\frac{5 x}{3}} x + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

단계 3.4.6

$\frac{5 x^{2} e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 e^{\frac{5 x}{3}} x + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{5 x^{2} e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 x e^{\frac{5 x}{3}} + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{5 x^{2} e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 x e^{\frac{5 x}{3}} + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{2} e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 x e^{\frac{5 x}{3}} + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$