미적분 예제

$x = 6 {(3 y - 8)}^{4}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (6 {(3 y - 8)}^{4})$

단계 2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

이항정리 이용

$\frac{d}{d x} [6 ({(3 y)}^{4} + 4 {(3 y)}^{3} \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

단계 3.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$3 y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [6 (3^{4} y^{4} + 4 {(3 y)}^{3} \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

단계 3.2.1.2

$3$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} + 4 {(3 y)}^{3} \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

단계 3.2.1.3

$3 y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} + 4 (3^{3} y^{3}) \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

단계 3.2.1.4

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} + 4 (27 y^{3}) \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

단계 3.2.1.5

$27$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} + 108 y^{3} \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

단계 3.2.1.6

$- 8$ 에 $108$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

단계 3.2.1.7

$3 y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 6 (3^{2} y^{2}) {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

단계 3.2.1.8

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 6 (9 y^{2}) {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

단계 3.2.1.9

$9$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 54 y^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

단계 3.2.1.10

$- 8$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 54 y^{2} \cdot 64 + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

단계 3.2.1.11

$64$ 에 $54$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

단계 3.2.1.12

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} + 12 y {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

단계 3.2.1.13

$- 8$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} + 12 y \cdot - 512 + {(- 8)}^{4})]$

단계 3.2.1.14

$- 512$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + {(- 8)}^{4})]$

단계 3.2.1.15

$- 8$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + 4096)]$

단계 3.2.2

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + 4096)$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + 4096]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + 4096]$

단계 3.2.3

합의 법칙에 의해 $81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + 4096$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [81 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096]$ 가 됩니다.

$6 (\frac{d}{d x} [81 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

단계 3.2.4

$81$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $81 y^{4}$ 의 미분은 $81 \frac{d}{d x} [y^{4}]$ 입니다.

$6 (81 \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

단계 3.3

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$6 (81 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

단계 3.3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (81 (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

단계 3.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$6 (81 (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

단계 3.4

$4$ 에 $81$ 을 곱합니다.

$6 (324 (y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

단계 3.5

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$6 (324 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

단계 3.6

$- 864$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 864 y^{3}$ 의 미분은 $- 864 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 입니다.

$6 (324 y^{3} y' - 864 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

단계 3.7

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$6 (324 y^{3} y' - 864 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

단계 3.7.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (324 y^{3} y' - 864 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

단계 3.7.3

$u_{2}$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$6 (324 y^{3} y' - 864 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

단계 3.8

$3$ 에 $- 864$ 을 곱합니다.

$6 (324 y^{3} y' - 2592 (y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

단계 3.9

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

단계 3.10

$3456$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3456 y^{2}$ 의 미분은 $3456 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 입니다.

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 3456 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

단계 3.11

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 3456 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

단계 3.11.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 는 $n {u_{3}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 3456 (2 u_{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

단계 3.11.3

$u_{3}$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 3456 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

단계 3.12

$2$ 에 $3456$ 을 곱합니다.

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 (y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

단계 3.13

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

단계 3.14

$- 6144$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 6144 y$ 의 미분은 $- 6144 \frac{d}{d x} [y]$ 입니다.

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' - 6144 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4096])$

단계 3.15

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' - 6144 y' + \frac{d}{d x} [4096])$

단계 3.16

$4096$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4096$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4096$ 입니다.

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' - 6144 y' + 0)$

단계 3.17

$324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' - 6144 y'$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' - 6144 y')$

단계 3.18

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.18.1

분배 법칙을 적용합니다.

$6 (324 y^{3} y') + 6 (- 2592 y^{2} y') + 6 (6912 y y') + 6 (- 6144 y')$

단계 3.18.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.18.2.1

$324$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$1944 (y^{3} y') + 6 (- 2592 y^{2} y') + 6 (6912 y y') + 6 (- 6144 y')$

단계 3.18.2.2

$- 2592$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$1944 y^{3} y' - 15552 (y^{2} y') + 6 (6912 y y') + 6 (- 6144 y')$

단계 3.18.2.3

$6912$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 (y y') + 6 (- 6144 y')$

단계 3.18.2.4

$- 6144$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y'$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$1 = 1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y'$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y' = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y' = 1$

단계 5.2

$1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y'$ 에서 $72 y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$1944 y^{3} y'$ 에서 $72 y'$ 를 인수분해합니다.

$72 y' (27 y^{3}) - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y' = 1$

단계 5.2.2

$- 15552 y^{2} y'$ 에서 $72 y'$ 를 인수분해합니다.

$72 y' (27 y^{3}) + 72 y' (- 216 y^{2}) + 41472 y y' - 36864 y' = 1$

단계 5.2.3

$41472 y y'$ 에서 $72 y'$ 를 인수분해합니다.

$72 y' (27 y^{3}) + 72 y' (- 216 y^{2}) + 72 y' (576 y) - 36864 y' = 1$

단계 5.2.4

$- 36864 y'$ 에서 $72 y'$ 를 인수분해합니다.

$72 y' (27 y^{3}) + 72 y' (- 216 y^{2}) + 72 y' (576 y) + 72 y' \cdot - 512 = 1$

단계 5.2.5

$72 y' (27 y^{3}) + 72 y' (- 216 y^{2})$ 에서 $72 y'$ 를 인수분해합니다.

$72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2}) + 72 y' (576 y) + 72 y' \cdot - 512 = 1$

단계 5.2.6

$72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2}) + 72 y' (576 y)$ 에서 $72 y'$ 를 인수분해합니다.

$72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y) + 72 y' \cdot - 512 = 1$

단계 5.2.7

$72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y) + 72 y' \cdot - 512$ 에서 $72 y'$ 를 인수분해합니다.

$72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512) = 1$

단계 5.3

$72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512) = 1$ 의 각 항을 $72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512) = 1$ 의 각 항을 $72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)$ 로 나눕니다.

$\frac{72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)} = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$72$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)} = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$

단계 5.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}{27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512} = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$

단계 5.3.2.2

$27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}{27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512} = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$

단계 5.3.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$