미적분 예제

$8 \sqrt{y} = x - 3 y$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{y}$ 을(를) $y^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$8 y^{\frac{1}{2}} = x - 3 y$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (8 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (x - 3 y)$

단계 3

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 y^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$8 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$8 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$8 (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.8

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$8 (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.9

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $y^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$8 (\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.10

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ 와 $8$ 을 묶습니다.

$\frac{8}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.11

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 4}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.12

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.1

$2 y^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 4}{2 (y^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.12.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 4}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.12.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.13

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{4}{y^{\frac{1}{2}}} y'$

단계 3.14

$\frac{4}{y^{\frac{1}{2}}}$ 와 $y'$ 을 묶습니다.

$\frac{4 y'}{y^{\frac{1}{2}}}$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

합의 법칙에 의해 $x - 3 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

단계 4.1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

단계 4.2

$\frac{d}{d x} [- 3 y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 y$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ 입니다.

$1 - 3 \frac{d}{d x} [y]$

단계 4.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$1 - 3 y'$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$\frac{4 y'}{y^{\frac{1}{2}}} = 1 - 3 y'$

단계 6

$y^{\frac{1}{2}}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

양변에 $y^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (1 - 3 y') y^{\frac{1}{2}}$

단계 6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$y^{\frac{1}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (1 - 3 y') y^{\frac{1}{2}}$

단계 6.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$4 y' = (1 - 3 y') y^{\frac{1}{2}}$

단계 6.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$(1 - 3 y') y^{\frac{1}{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 y' = 1 y^{\frac{1}{2}} - 3 y' y^{\frac{1}{2}}$

단계 6.2.2.1.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.2.1

$y^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 y' = y^{\frac{1}{2}} - 3 y' y^{\frac{1}{2}}$

단계 6.2.2.1.2.2

$y^{\frac{1}{2}}$ 와 $- 3 y' y^{\frac{1}{2}}$ 을 다시 정렬합니다.

$4 y' = - 3 y' y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$

단계 6.3

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

방정식의 양변에 $3 y' y^{\frac{1}{2}}$ 를 더합니다.

$4 y' + 3 y' y^{\frac{1}{2}} = y^{\frac{1}{2}}$

단계 6.3.2

각 항에 포함된 공통인수 $y^{\frac{1}{2}}$ 를 찾습니다.

$4 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 y' y^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}$

단계 6.3.3

$y^{\frac{1}{2}}$ 에 $u$ 를 대입합니다.

$4 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 y' u - (u) = 0$

단계 6.3.4

$u$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.4.1.1

${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.4.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 y' u - u = 0$

단계 6.3.4.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.4.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$4 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 y' u - u = 0$

단계 6.3.4.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$4 {y'}^{1} + 3 y' u - u = 0$

단계 6.3.4.1.2

간단히 합니다.

$4 y' + 3 y' u - u = 0$

단계 6.3.4.2

방정식의 양변에서 $4 y'$ 를 뺍니다.

$3 y' u - u = - 4 y'$

단계 6.3.4.3

$3 y' u - u$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.4.3.1

$3 y' u$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$u (3 y') - u = - 4 y'$

단계 6.3.4.3.2

$- u$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$u (3 y') + u \cdot - 1 = - 4 y'$

단계 6.3.4.3.3

$u (3 y') + u \cdot - 1$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$u (3 y' - 1) = - 4 y'$

단계 6.3.4.4

$u (3 y' - 1) = - 4 y'$ 의 각 항을 $3 y' - 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.4.4.1

$u (3 y' - 1) = - 4 y'$ 의 각 항을 $3 y' - 1$ 로 나눕니다.

$\frac{u (3 y' - 1)}{3 y' - 1} = \frac{- 4 y'}{3 y' - 1}$

단계 6.3.4.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.4.4.2.1

$3 y' - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.4.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{u (3 y' - 1)}{3 y' - 1} = \frac{- 4 y'}{3 y' - 1}$

단계 6.3.4.4.2.1.2

$u$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$u = \frac{- 4 y'}{3 y' - 1}$

단계 6.3.4.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.4.4.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$u = - \frac{4 y'}{3 y' - 1}$

단계 6.3.5

$u$ 에 $y'$ 를 대입합니다.

$y^{\frac{1}{2}} = - \frac{4 y'}{3 y' - 1}$

단계 7

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 y'}{3 y' - 1}$