미적분 예제

$y = \ln (3 x^{2} - 5 x + 2)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (3 x^{2} - 5 x + 2))$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 3 x^{2} - 5 x + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x^{2} - 5 x + 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 2]$

단계 3.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 2]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $3 x^{2} - 5 x + 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 2]$

단계 3.2

미분합니다.

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단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} - 5 x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

단계 3.2.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

단계 3.2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

단계 3.2.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

단계 3.2.5

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

단계 3.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

단계 3.2.7

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 + \frac{d}{d x} [2])$

단계 3.2.8

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 + 0)$

단계 3.2.9

$6 x - 5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5)$

단계 3.3

간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2}$

단계 3.3.2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 3.3.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ 이고 합이 $b = - 5$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 3.3.2.1.1

$- 5 x$ 에서 $- 5$ 를 인수분해합니다.

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} - 5 (x) + 2}$

단계 3.3.2.1.2

$- 5$ 를 $- 2$ + $- 3$ 로 다시 씁니다.

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} + (- 2 - 3) x + 2}$

단계 3.3.2.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} - 2 x - 3 x + 2}$

단계 3.3.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 3.3.2.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(6 x - 5) \frac{1}{(3 x^{2} - 2 x) - 3 x + 2}$

단계 3.3.2.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$(6 x - 5) \frac{1}{x (3 x - 2) - (3 x - 2)}$

단계 3.3.2.3

최대공약수 $3 x - 2$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(6 x - 5) \frac{1}{(3 x - 2) (x - 1)}$

단계 3.3.3

$6 x - 5$ 에 $\frac{1}{(3 x - 2) (x - 1)}$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x - 5}{(3 x - 2) (x - 1)}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{6 x - 5}{(3 x - 2) (x - 1)}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x - 5}{(3 x - 2) (x - 1)}$