미적분 예제

$x = \frac{t^{2} + 1}{3 t}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} (\frac{t^{2} + 1}{3 t})$

단계 2

$x$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $x'$ 입니다.

$x'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{3}$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $\frac{t^{2} + 1}{3 t}$ 의 미분은 $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} + 1}{t}]$ 입니다.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} + 1}{t}]$

단계 3.2

$f (t) = t^{2} + 1$ , $g (t) = t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 는 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1] - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

단계 3.3

미분합니다.

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단계 3.3.1

합의 법칙에 의해 $t^{2} + 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

단계 3.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (2 t + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

단계 3.3.3

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (2 t + 0) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

단계 3.3.4

$2 t$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (2 t) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

단계 3.4

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (t^{1} t) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

단계 3.5

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (t^{1} t^{1}) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

단계 3.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{1 + 1} - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

단계 3.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

단계 3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1) \cdot 1}{t^{2}}$

단계 3.9

분수를 통분합니다.

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단계 3.9.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1)}{t^{2}}$

단계 3.9.2

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1)}{t^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1)}{3 t^{2}}$

단계 3.10

간단히 합니다.

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단계 3.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 t^{2} - t^{2} - 1 \cdot 1}{3 t^{2}}$

단계 3.10.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.10.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 t^{2} - t^{2} - 1}{3 t^{2}}$

단계 3.10.2.2

$2 t^{2}$ 에서 $t^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{t^{2} - 1}{3 t^{2}}$

단계 3.10.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.10.3.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{t^{2} - 1^{2}}{3 t^{2}}$

단계 3.10.3.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = t$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{3 t^{2}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$x' = \frac{(t + 1) (t - 1)}{3 t^{2}}$

단계 5

$x'$ 에 $\frac{d x}{d t}$ 를 대입합니다.

$\frac{d x}{d t} = \frac{(t + 1) (t - 1)}{3 t^{2}}$