미적분 예제

$w = {(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{- 3}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (w) = \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{- 3})$

단계 2

$w$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $w'$ 입니다.

$w'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = {(x + 4)}^{3}$ , $g (x) = {(x - 4)}^{- 3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{- 3}] + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

단계 3.2

$f (x) = x^{- 3}$ , $g (x) = x - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x - 4$ 로 바꿉니다.

${(x + 4)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 3}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

단계 3.2.2

$n = - 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(x + 4)}^{3} (- 3 {u_{1}}^{- 4} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

단계 3.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $x - 4$ 로 바꿉니다.

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

단계 3.3

미분합니다.

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단계 3.3.1

합의 법칙에 의해 $x - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

단계 3.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

단계 3.3.3

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

단계 3.3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4} \cdot 1) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

단계 3.3.4.2

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

단계 3.4

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x + 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x + 4$ 로 바꿉니다.

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + {(x - 4)}^{- 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x + 4])$

단계 3.4.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + {(x - 4)}^{- 3} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$

단계 3.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $x + 4$ 로 바꿉니다.

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + {(x - 4)}^{- 3} (3 {(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$

단계 3.5

미분합니다.

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단계 3.5.1

${(x - 4)}^{- 3}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + 3 \cdot {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4]$

단계 3.5.2

합의 법칙에 의해 $x + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + 3 {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

단계 3.5.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + 3 {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

단계 3.5.4

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + 3 {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2} (1 + 0)$

단계 3.5.5

식을 간단히 합니다.

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단계 3.5.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + 3 {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2} \cdot 1$

단계 3.5.5.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + 3 {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2}$

단계 3.6

간단히 합니다.

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단계 3.6.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

${(x + 4)}^{3} (- 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{4}}) + 3 {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2}$

단계 3.6.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

${(x + 4)}^{3} (- 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{4}}) + 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{3}} {(x + 4)}^{2}$

단계 3.6.3

항을 묶습니다.

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단계 3.6.3.1

$- 3$ 와 $\frac{1}{{(x - 4)}^{4}}$ 을 묶습니다.

${(x + 4)}^{3} \frac{- 3}{{(x - 4)}^{4}} + 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{3}} {(x + 4)}^{2}$

단계 3.6.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

${(x + 4)}^{3} (- \frac{3}{{(x - 4)}^{4}}) + 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{3}} {(x + 4)}^{2}$

단계 3.6.3.3

${(x + 4)}^{3}$ 와 $\frac{3}{{(x - 4)}^{4}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{{(x + 4)}^{3} \cdot 3}{{(x - 4)}^{4}} + 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{3}} {(x + 4)}^{2}$

단계 3.6.3.4

${(x + 4)}^{3}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$- \frac{3 \cdot {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{3}} {(x + 4)}^{2}$

단계 3.6.3.5

$3$ 와 $\frac{1}{{(x - 4)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3}{{(x - 4)}^{3}} {(x + 4)}^{2}$

단계 3.6.3.6

$\frac{3}{{(x - 4)}^{3}}$ 와 ${(x + 4)}^{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 3.6.3.7

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{3}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 4}{x - 4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{3}} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

단계 3.6.3.8

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 ${(x - 4)}^{4}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 3.6.3.8.1

$\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{3}}$ 에 $\frac{x - 4}{x - 4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)}{{(x - 4)}^{3} (x - 4)}$

단계 3.6.3.8.2

지수를 더하여 ${(x - 4)}^{3}$ 에 $x - 4$ 을 곱합니다.

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단계 3.6.3.8.2.1

${(x - 4)}^{3}$ 에 $x - 4$ 을 곱합니다.

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단계 3.6.3.8.2.1.1

$x - 4$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)}{{(x - 4)}^{3} {(x - 4)}^{1}}$

단계 3.6.3.8.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)}{{(x - 4)}^{3 + 1}}$

단계 3.6.3.8.2.2

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 3.6.3.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 3 {(x + 4)}^{3} + 3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 3.6.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.6.4.1

$- 3 {(x + 4)}^{3} + 3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)$ 에서 $3 {(x + 4)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.6.4.1.1

$- 3 {(x + 4)}^{3}$ 에서 $3 {(x + 4)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} (- (x + 4)) + 3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 3.6.4.1.2

$3 {(x + 4)}^{2} (- (x + 4)) + 3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)$ 에서 $3 {(x + 4)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} (- (x + 4) + x - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 3.6.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} (- x - 1 \cdot 4 + x - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 3.6.4.3

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} (- x - 4 + x - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 3.6.4.4

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} (0 - 4 - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 3.6.4.5

$0$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} (- 4 - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 3.6.4.6

$- 4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} \cdot - 8}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 3.6.4.7

$- 8$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 24 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 3.6.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{24 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$w' = - \frac{24 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 5

$w'$ 에 $\frac{d w}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d w}{d x} = - \frac{24 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$