미적분 예제

$w = {(2 x - 7)}^{- 1} (x + 5)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (w) = \frac{d}{d x} ({(2 x - 7)}^{- 1} (x + 5))$

단계 2

$w$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $w'$ 입니다.

$w'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = {(2 x - 7)}^{- 1}$ , $g (x) = x + 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(2 x - 7)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x + 5] + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

단계 3.2

미분합니다.

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단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $x + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

${(2 x - 7)}^{- 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

단계 3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(2 x - 7)}^{- 1} (1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

단계 3.2.3

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

${(2 x - 7)}^{- 1} (1 + 0) + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

단계 3.2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

${(2 x - 7)}^{- 1} \cdot 1 + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

단계 3.2.4.2

${(2 x - 7)}^{- 1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

단계 3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = 2 x - 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x - 7$ 로 바꿉니다.

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

단계 3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

단계 3.3.3

$u$ 를 모두 $2 x - 7$ 로 바꿉니다.

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

단계 3.4

미분합니다.

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단계 3.4.1

합의 법칙에 의해 $2 x - 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 가 됩니다.

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]))$

단계 3.4.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]))$

단계 3.4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]))$

단계 3.4.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d x} [- 7]))$

단계 3.4.5

$- 7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 7$ 입니다.

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (2 + 0))$

단계 3.4.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.6.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} \cdot 2)$

단계 3.4.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- 2 {(2 x - 7)}^{- 2})$

단계 3.5

간단히 합니다.

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단계 3.5.1

항을 다시 정렬합니다.

$- 2 {(2 x - 7)}^{- 2} (x + 5) + {(2 x - 7)}^{- 1}$

단계 3.5.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.5.2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 2 \frac{1}{{(2 x - 7)}^{2}} (x + 5) + {(2 x - 7)}^{- 1}$

단계 3.5.2.2

$- 2$ 와 $\frac{1}{{(2 x - 7)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{{(2 x - 7)}^{2}} (x + 5) + {(2 x - 7)}^{- 1}$

단계 3.5.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} (x + 5) + {(2 x - 7)}^{- 1}$

단계 3.5.2.4

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} x - \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} \cdot 5 + {(2 x - 7)}^{- 1}$

단계 3.5.2.5

$x$ 와 $\frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} \cdot 5 + {(2 x - 7)}^{- 1}$

단계 3.5.2.6

$- \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} \cdot 5$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.2.6.1

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{x \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} - 5 \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

단계 3.5.2.6.2

$- 5$ 와 $\frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{- 5 \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

단계 3.5.2.6.3

$- 5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{x \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{- 10}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

단계 3.5.2.7

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.5.2.7.1

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{2 \cdot x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{- 10}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

단계 3.5.2.7.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

단계 3.5.2.8

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{1}{2 x - 7}$

단계 3.5.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{2 x - 7}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2 x - 7}{2 x - 7}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{1}{2 x - 7} \cdot \frac{2 x - 7}{2 x - 7} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

단계 3.5.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 ${(2 x - 7)}^{2}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 3.5.4.1

$\frac{1}{2 x - 7}$ 에 $\frac{2 x - 7}{2 x - 7}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{(2 x - 7) (2 x - 7)} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

단계 3.5.4.2

$2 x - 7$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{1} (2 x - 7)} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

단계 3.5.4.3

$2 x - 7$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{1} {(2 x - 7)}^{1}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

단계 3.5.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{1 + 1}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

단계 3.5.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

단계 3.5.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 2 x + 2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

단계 3.5.6

$\frac{- 2 x + 2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 3.5.6.1

$- 2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{0 - 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

단계 3.5.6.2

$0$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$\frac{- 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

단계 3.5.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 7 - 10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

단계 3.5.8

$- 7$ 에서 $10$ 을 뺍니다.

$\frac{- 17}{{(2 x - 7)}^{2}}$

단계 3.5.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{17}{{(2 x - 7)}^{2}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$w' = - \frac{17}{{(2 x - 7)}^{2}}$

단계 5

$w'$ 에 $\frac{d w}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d w}{d x} = - \frac{17}{{(2 x - 7)}^{2}}$