미적분 예제

$v = (1 - t) {(1 + t^{2})}^{- 1}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d t} v' = \frac{d}{d t} ((1 - t) {(1 + t^{2})}^{- 1})$

단계 2

$v'$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $v''$ 입니다.

$v''$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (t) = 1 - t$ , $g (t) = {(1 + t^{2})}^{- 1}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 - t) \frac{d}{d t} [{(1 + t^{2})}^{- 1}] + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

단계 3.2

$f (t) = t^{- 1}$ , $g (t) = 1 + t^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 + t^{2}$ 로 바꿉니다.

$(1 - t) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

단계 3.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 - t) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $1 + t^{2}$ 로 바꿉니다.

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

단계 3.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

합의 법칙에 의해 $1 + t^{2}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 가 됩니다.

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

단계 3.3.2

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

단계 3.3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ 에 더합니다.

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

단계 3.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} (2 t)) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

단계 3.3.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

단계 3.3.6

합의 법칙에 의해 $1 - t$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ 가 됩니다.

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t])$

단계 3.3.7

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

단계 3.3.8

$0$ 를 $\frac{d}{d t} [- t]$ 에 더합니다.

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [- t]$

단계 3.3.9

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- t$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (- \frac{d}{d t} [t])$

단계 3.3.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (- 1 \cdot 1)$

단계 3.3.11

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.11.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \cdot - 1$

단계 3.3.11.2

${(1 + t^{2})}^{- 1}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) - 1 \cdot {(1 + t^{2})}^{- 1}$

단계 3.3.11.3

$- 1 {(1 + t^{2})}^{- 1}$ 을 $- {(1 + t^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) - {(1 + t^{2})}^{- 1}$

단계 3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$(1 - t) (- 2 \frac{1}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - {(1 + t^{2})}^{- 1}$

단계 3.4.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$(1 - t) (- 2 \frac{1}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

단계 3.4.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{{(1 + t^{2})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$(1 - t) (\frac{- 2}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

단계 3.4.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$(1 - t) (- \frac{2}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

단계 3.4.3.3

$t$ 와 $\frac{2}{{(1 + t^{2})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$(1 - t) (- \frac{t \cdot 2}{{(1 + t^{2})}^{2}}) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

단계 3.4.3.4

$t$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$(1 - t) (- \frac{2 \cdot t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

단계 3.4.3.5

공통 분모를 가지는 분수로 $(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}})$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 + t^{2}}{1 + t^{2}}$ 을 곱합니다.

$(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) \cdot \frac{1 + t^{2}}{1 + t^{2}} - \frac{1}{1 + t^{2}}$

단계 3.4.3.6

$(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}})$ 와 $\frac{1 + t^{2}}{1 + t^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) (1 + t^{2})}{1 + t^{2}} - \frac{1}{1 + t^{2}}$

단계 3.4.3.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) (1 + t^{2}) - 1}{1 + t^{2}}$

단계 3.4.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- (1 + t^{2}) (1 - t) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

단계 3.4.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1

$- (1 + t^{2}) (1 - t) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1.1

수식을 다시 정렬합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1.1.1

$1$ 와 $t^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{- (t^{2} + 1) (1 - t) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

단계 3.4.5.1.1.2

$1$ 와 $- t$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{- (t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

단계 3.4.5.1.1.3

$1$ 와 $t^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{- (t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

단계 3.4.5.1.2

$- (t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}) - 1}{t^{2} + 1}$

단계 3.4.5.1.3

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}) - 1 (1)}{t^{2} + 1}$

단계 3.4.5.1.4

$- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}} + 1)}{t^{2} + 1}$

단계 3.4.5.2

$t^{2} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.4.5.2.1

${(t^{2} + 1)}^{2}$ 에서 $t^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- ((t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 1)} + 1)}{t^{2} + 1}$

단계 3.4.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- ((t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 1)} + 1)}{t^{2} + 1}$

단계 3.4.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- ((- t + 1) \frac{2 t}{t^{2} + 1} + 1)}{t^{2} + 1}$

단계 3.4.5.3

$- t + 1$ 에 $\frac{2 t}{t^{2} + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{- (\frac{(- t + 1) (2 t)}{t^{2} + 1} + 1)}{t^{2} + 1}$

단계 3.4.5.4

$- t + 1$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{- (\frac{2 \cdot (- t + 1) t}{t^{2} + 1} + 1)}{t^{2} + 1}$

단계 3.4.5.5

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{- (\frac{2 (- t + 1) t}{t^{2} + 1} + \frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1})}{t^{2} + 1}$

단계 3.4.5.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- \frac{2 (- t + 1) t + t^{2} + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

단계 3.4.5.7

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 t (- t + 1) + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

단계 3.4.5.8

인수분해된 형태로 $\frac{t^{2} + 2 t (- t + 1) + 1}{t^{2} + 1}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 t (- t) + 2 t \cdot 1 + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

단계 3.4.5.8.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t \cdot t + 2 t \cdot 1 + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

단계 3.4.5.8.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t \cdot t + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

단계 3.4.5.8.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.8.4.1

지수를 더하여 $t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.8.4.1.1

$t$ 를 옮깁니다.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 (t \cdot t) + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

단계 3.4.5.8.4.1.2

$t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

단계 3.4.5.8.4.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- \frac{t^{2} - 2 t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

단계 3.4.5.8.5

$t^{2}$ 에서 $2 t^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

단계 3.4.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1} \cdot \frac{1}{t^{2} + 1}$

단계 3.4.7

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1} \cdot \frac{1}{t^{2} + 1}$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.7.1

$\frac{1}{t^{2} + 1}$ 에 $\frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}$ 을 곱합니다.

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 1)}$

단계 3.4.7.2

$t^{2} + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{1} (t^{2} + 1)}$

단계 3.4.7.3

$t^{2} + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{1} {(t^{2} + 1)}^{1}}$

단계 3.4.7.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{1 + 1}}$

단계 3.4.7.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.4.8

$- t^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{- (t^{2}) + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.4.9

$2 t$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{- (t^{2}) - (- 2 t) + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.4.10

$- (t^{2}) - (- 2 t)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{- (t^{2} - 2 t) + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.4.11

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{- (t^{2} - 2 t) - 1 (- 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.4.12

$- (t^{2} - 2 t) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{- (t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.4.13

$- (t^{2} - 2 t - 1)$ 을 $- 1 (t^{2} - 2 t - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{- 1 (t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.4.14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- - \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.4.15

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.4.16

$\frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$v'' = \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 5

$v'$ 에 $\frac{d v}{d t}$ 를 대입합니다.

$\frac{d v}{d t} = \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$