미적분 예제

$u = \sqrt{\sqrt{2 v - 9}}$

단계 1

유리 지수를 사용하여 우변을 다시 씁니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2 u' - 9}$ 을(를) ${(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$u = \sqrt{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 을(를) ${(2 u' - 9)}^{\frac{\frac{1}{2}}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{\frac{1}{2}}{2}}$

단계 1.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

단계 1.4

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.4.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2 \cdot 2}}$

단계 1.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4}}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d u'} u = \frac{d}{d u'} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4}}$

단계 3

$u$ 를 $u'$ 에 대해 미분하면 $u'$ 입니다.

$u'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 4.1

$f (u') = {u'}^{\frac{1}{4}}$ , $g (u') = 2 u' - 9$ 일 때 $\frac{d}{d v} [f (g (u'))]$ 는 $f' (g (u')) g' (u')$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 u' - 9$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

단계 4.1.2

$n = \frac{1}{4}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

단계 4.1.3

$u$ 를 모두 $2 u' - 9$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

단계 4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

단계 4.3

$- 1$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

단계 4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

단계 4.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.5.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

단계 4.5.2

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

단계 4.6

분수를 통분합니다.

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단계 4.6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

단계 4.6.2

$\frac{1}{4}$ 와 ${(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

단계 4.6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

단계 4.7

합의 법칙에 의해 $2 u' - 9$ 를 $u'$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d v} [2 u'] + \frac{d}{d v} [- 9]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d v} [2 u'] + \frac{d}{d v} [- 9])$

단계 4.8

$2$ 은 $u'$ 에 대해 일정하므로 $u'$ 에 대한 $2 u'$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d v} [u']$ 입니다.

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 \frac{d}{d v} [u'] + \frac{d}{d v} [- 9])$

단계 4.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ 는 $n {u'}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 9])$

단계 4.10

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 + \frac{d}{d v} [- 9])$

단계 4.11

$- 9$ 이 $u'$ 에 대해 일정하므로, $- 9$ 를 $u'$ 에 대해 미분하면 $- 9$ 입니다.

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 + 0)$

단계 4.12

항을 간단히 합니다.

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단계 4.12.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} \cdot 2$

단계 4.12.2

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

단계 4.12.3

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (1)}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

단계 4.13

공약수로 약분합니다.

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단계 4.13.1

$4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (1)}{2 (2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}})}$

단계 4.13.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 (2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}})}$

단계 4.13.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$u' = \frac{1}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

단계 6

방정식의 각 변을 그립니다. 해는 교점의 x값입니다.

$u' \approx 4.52650004$

단계 7

$u'$ 에 $\frac{d u}{d v}$ 를 대입합니다.

$u' = \frac{d u}{d v} \approx 4.52650004$