미적분 예제

$R = 2 x (900 + 32 x - x^{2})$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (R) = \frac{d}{d x} (2 x (900 + 32 x - x^{2}))$

단계 2

$R$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $R'$ 입니다.

$R'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x (900 + 32 x - x^{2})$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x (900 + 32 x - x^{2})]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x (900 + 32 x - x^{2})]$

단계 3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = 900 + 32 x - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x \frac{d}{d x} [900 + 32 x - x^{2}] + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

미분합니다.

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단계 3.3.1

합의 법칙에 의해 $900 + 32 x - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [900] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$2 (x (\frac{d}{d x} [900] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.2

$900$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $900$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $900$ 입니다.

$2 (x (0 + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [32 x]$ 에 더합니다.

$2 (x (\frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.4

$32$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $32 x$ 의 미분은 $32 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 (x (32 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x (32 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.6

$32$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (x (32 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.7

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$2 (x (32 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x (32 - (2 x)) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.9

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 (x (32 - 2 x) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x (32 - 2 x) + (900 + 32 x - x^{2}) \cdot 1)$

단계 3.3.11

$900 + 32 x - x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (x (32 - 2 x) + 900 + 32 x - x^{2})$

단계 3.4

간단히 합니다.

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단계 3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (x \cdot 32 + x (- 2 x) + 900 + 32 x - x^{2})$

단계 3.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (x \cdot 32) + 2 (x (- 2 x)) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

단계 3.4.3

항을 묶습니다.

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단계 3.4.3.1

$x$ 의 왼쪽으로 $32$ 이동하기

$2 (32 \cdot x) + 2 (x (- 2 x)) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

단계 3.4.3.2

$32$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$64 x + 2 (x (- 2 x)) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

단계 3.4.3.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$64 x + 2 (- 2 (x^{1} x)) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

단계 3.4.3.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$64 x + 2 (- 2 (x^{1} x^{1})) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

단계 3.4.3.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$64 x + 2 (- 2 x^{1 + 1}) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

단계 3.4.3.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$64 x + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

단계 3.4.3.7

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$64 x - 4 x^{2} + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

단계 3.4.3.8

$2$ 에 $900$ 을 곱합니다.

$64 x - 4 x^{2} + 1800 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

단계 3.4.3.9

$32$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$64 x - 4 x^{2} + 1800 + 64 x + 2 (- x^{2})$

단계 3.4.3.10

$64 x$ 를 $64 x$ 에 더합니다.

$128 x - 4 x^{2} + 1800 + 2 (- x^{2})$

단계 3.4.3.11

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$128 x - 4 x^{2} + 1800 - 2 x^{2}$

단계 3.4.3.12

$- 4 x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$128 x - 6 x^{2} + 1800$

단계 3.4.4

항을 다시 정렬합니다.

$- 6 x^{2} + 128 x + 1800$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$R' = - 6 x^{2} + 128 x + 1800$

단계 5

$R'$ 에 $\frac{d R}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d R}{d x} = - 6 x^{2} + 128 x + 1800$