미적분 예제

$s = {(6 t - t^{2})}^{\frac{2}{3}}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} ({(6 t - t^{2})}^{\frac{2}{3}})$

단계 2

$s$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $s'$ 입니다.

$s'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (t) = t^{\frac{2}{3}}$ , $g (t) = 6 t - t^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $6 t - t^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

단계 3.1.2

$n = \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $6 t - t^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{2}{3} {(6 t - t^{2})}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

단계 3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} {(6 t - t^{2})}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

단계 3.3

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} {(6 t - t^{2})}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

단계 3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2}{3} {(6 t - t^{2})}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

단계 3.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} {(6 t - t^{2})}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

단계 3.5.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{3} {(6 t - t^{2})}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

단계 3.6

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2}{3} {(6 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

단계 3.6.2

$\frac{2}{3}$ 와 ${(6 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 {(6 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

단계 3.6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(6 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

단계 3.7

합의 법칙에 의해 $6 t - t^{2}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

단계 3.8

$6$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $6 t$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

단계 3.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

단계 3.10

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (6 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

단계 3.11

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- t^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 입니다.

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (6 - \frac{d}{d t} [t^{2}])$

단계 3.12

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (6 - (2 t))$

단계 3.13

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (6 - 2 t)$

단계 3.14

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.14.1

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (6 - 2 t)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(6 - 2 t) \frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

단계 3.14.2

$6 - 2 t$ 에 $\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(6 - 2 t) \cdot 2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

단계 3.14.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.14.3.1

$6 - 2 t$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.14.3.1.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(2 (3) - 2 t) \cdot 2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

단계 3.14.3.1.2

$- 2 t$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(2 (3) + 2 (- t)) \cdot 2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

단계 3.14.3.1.3

$2 (3) + 2 (- t)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (3 - t) \cdot 2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

단계 3.14.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4 (3 - t)}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$s' = \frac{4 (3 - t)}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

단계 5

$s'$ 에 $\frac{d s}{d t}$ 를 대입합니다.

$\frac{d s}{d t} = \frac{4 (3 - t)}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$