미적분 예제

$r = (2 {(\tan^{3} (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}})$

단계 1

유리 지수를 사용하여 우변을 다시 씁니다.

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단계 1.1

괄호를 제거합니다.

$r = 2 {(\tan^{3} (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}}$

단계 1.2

${(\tan^{3} (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$r = 2 {\tan (2 x - 1)}^{3 (\frac{1}{2})}$

단계 1.2.2

$3$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$r = 2 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (r) = \frac{d}{d x} (2 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2}})$

단계 3

$r$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $r'$ 입니다.

$r'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 4.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [{\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [{\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]$

단계 4.2

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ , $g (x) = \tan (2 x - 1)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\tan (2 x - 1)$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

단계 4.2.2

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

단계 4.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\tan (2 x - 1)$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

단계 4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

단계 4.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

단계 4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

단계 4.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

단계 4.6.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

단계 4.7

$\frac{3}{2}$ 와 ${\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

단계 4.8

$\frac{3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

단계 4.9

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{6 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

단계 4.10

$6 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

단계 4.11

공약수로 약분합니다.

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단계 4.11.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

단계 4.11.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

단계 4.11.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

단계 4.11.4

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

단계 4.12

$f (x) = \tan (x)$ , $g (x) = 2 x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.12.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x - 1$ 로 바꿉니다.

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

단계 4.12.2

$\tan (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u_{2})$ 입니다.

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

단계 4.12.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x - 1$ 로 바꿉니다.

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (\sec^{2} (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

단계 4.13

미분합니다.

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단계 4.13.1

합의 법칙에 의해 $2 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.13.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.13.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.13.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.13.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) (2 + 0)$

단계 4.13.6

식을 간단히 합니다.

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단계 4.13.6.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) \cdot 2$

단계 4.13.6.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1)$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$r' = 6 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1)$

단계 6

$r'$ 에 $\frac{d r}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d r}{d x} = 6 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1)$