미적분 예제

$y = \frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{36}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{36})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{36}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$\frac{x^{6}}{6}$ 와 $\ln (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{6} \ln (x)}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

단계 3.2.2

$\frac{1}{6}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x^{6} \ln (x)}{6}$ 의 미분은 $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$ 입니다.

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

단계 3.2.3

$f (x) = x^{6}$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{6} (x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

단계 3.2.4

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{1}{6} (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

단계 3.2.5

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{6} (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

단계 3.2.6

$x^{6}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{6} (\frac{x^{6}}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

단계 3.2.7

$x^{6}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.7.1

$x^{6}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{6} (\frac{x \cdot x^{5}}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

단계 3.2.7.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.7.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{6} (\frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

단계 3.2.7.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{6} (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

단계 3.2.7.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{6} (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

단계 3.2.7.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{6} (\frac{x^{5}}{1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

단계 3.2.7.2.5

$x^{5}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$- \frac{1}{36}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{x^{6}}{36}$ 의 미분은 $- \frac{1}{36} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 입니다.

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{1}{36} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

단계 3.3.2

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{1}{36} (6 x^{5})$

단계 3.3.3

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - 6 (\frac{1}{36}) x^{5}$

단계 3.3.4

$- 6$ 와 $\frac{1}{36}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- 6}{36} x^{5}$

단계 3.3.5

$\frac{- 6}{36}$ 와 $x^{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- 6 x^{5}}{36}$

단계 3.3.6

$- 6$ 및 $36$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.6.1

$- 6 x^{5}$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{36}$

단계 3.3.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.6.2.1

$36$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{6 (6)}$

단계 3.3.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{6 \cdot 6}$

단계 3.3.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- x^{5}}{6}$

단계 3.3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{x^{5}}{6}$

단계 3.4

간단히 합니다.

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단계 3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{1}{6} (\ln (x) (6 x^{5})) - \frac{x^{5}}{6}$

단계 3.4.2

항을 묶습니다.

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단계 3.4.2.1

$\ln (x)$ 와 $\frac{1}{6}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{\ln (x)}{6} (6 x^{5}) - \frac{x^{5}}{6}$

단계 3.4.2.2

$6$ 와 $\frac{\ln (x)}{6}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{6 \ln (x)}{6} x^{5} - \frac{x^{5}}{6}$

단계 3.4.2.3

$\frac{6 \ln (x)}{6}$ 와 $x^{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{6 \ln (x) x^{5}}{6} - \frac{x^{5}}{6}$

단계 3.4.2.4

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.4.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{6 \ln (x) x^{5}}{6} - \frac{x^{5}}{6}$

단계 3.4.2.4.2

$\ln (x) x^{5}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{6} x^{5} + \ln (x) x^{5} - \frac{x^{5}}{6}$

단계 3.4.2.5

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{6} x^{5}$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$\ln (x) x^{5} + \frac{1}{6} x^{5} \cdot \frac{6}{6} - \frac{x^{5}}{6}$

단계 3.4.2.6

$\frac{1}{6} x^{5}$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{1}{6} x^{5} \cdot 6}{6} - \frac{x^{5}}{6}$

단계 3.4.2.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{1}{6} x^{5} \cdot 6 - x^{5}}{6}$

단계 3.4.2.8

$\frac{1}{6}$ 와 $x^{5}$ 을 묶습니다.

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{x^{5}}{6} \cdot 6 - x^{5}}{6}$

단계 3.4.2.9

$\frac{x^{5}}{6}$ 와 $6$ 을 묶습니다.

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{x^{5} \cdot 6}{6} - x^{5}}{6}$

단계 3.4.2.10

$x^{5}$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{6 \cdot x^{5}}{6} - x^{5}}{6}$

단계 3.4.2.11

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.4.2.11.1

공약수로 약분합니다.

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{6 x^{5}}{6} - x^{5}}{6}$

단계 3.4.2.11.2

$x^{5}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (x) x^{5} + \frac{x^{5} - x^{5}}{6}$

단계 3.4.2.12

$x^{5}$ 에서 $x^{5}$ 을 뺍니다.

$\ln (x) x^{5} + \frac{0}{6}$

단계 3.4.2.13

$0$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.4.2.13.1

$0$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\ln (x) x^{5} + \frac{6 (0)}{6}$

단계 3.4.2.13.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.4.2.13.2.1

$6$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\ln (x) x^{5} + \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}$

단계 3.4.2.13.2.2

공약수로 약분합니다.

$\ln (x) x^{5} + \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}$

단계 3.4.2.13.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\ln (x) x^{5} + \frac{0}{1}$

단계 3.4.2.13.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (x) x^{5} + 0$

단계 3.4.2.14

$\ln (x) x^{5}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\ln (x) x^{5}$

단계 3.4.3

$\ln (x) x^{5}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$x^{5} \ln (x)$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = x^{5} \ln (x)$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = x^{5} \ln (x)$