미적분 예제

$y = \frac{1 - 6 x^{2}}{x^{4} - 6 x^{2} + 5}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 - 6 x^{2}}{x^{4} - 6 x^{2} + 5})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = 1 - 6 x^{2}$ , $g (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [1 - 6 x^{2}] - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $1 - 6 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]) - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]) - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.2.4

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 6 x^{2}$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.2.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 6 (2 x)) - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.2.6

$2$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.2.7

합의 법칙에 의해 $x^{4} - 6 x^{2} + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.2.8

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.2.9

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 6 x^{2}$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.2.10

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.2.11

$2$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} - 12 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.2.12

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} - 12 x + 0)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.2.13

$4 x^{3} - 12 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{4} (- 12 x) - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{4} (- 12 x) - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- 12 x^{4} x - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.1.2

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 12 (x \cdot x^{4}) - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.1.2.2

$x$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 12 (x^{1} x^{4}) - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.1.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 12 x^{1 + 4} - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.1.2.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{- 12 x^{5} - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- 12 x^{5} - 6 \cdot - 12 x^{2} x + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.1.4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 12 x^{5} - 6 \cdot - 12 (x \cdot x^{2}) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.1.4.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 12 x^{5} - 6 \cdot - 12 (x^{1} x^{2}) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.1.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 12 x^{5} - 6 \cdot - 12 x^{1 + 2} + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.1.4.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{- 12 x^{5} - 6 \cdot - 12 x^{3} + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.1.5

$- 6$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.1.6

$- 12$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.1.7

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.7.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x + (- 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.1.7.2

$- 6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x + (- 1 + 6 x^{2}) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.1.8

FOIL 계산법을 이용하여 $(- 1 + 6 x^{2}) (4 x^{3} - 12 x)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 1 (4 x^{3} - 12 x) + 6 x^{2} (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.1.8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 12 x) + 6 x^{2} (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.1.8.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 12 x) + 6 x^{2} (4 x^{3}) + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.1.9

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.9.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.9.1.1

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} - 1 (- 12 x) + 6 x^{2} (4 x^{3}) + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.1.9.1.2

$- 12$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 6 x^{2} (4 x^{3}) + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.1.9.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 6 \cdot 4 x^{2} x^{3} + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.1.9.1.4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.9.1.4.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 6 \cdot 4 (x^{3} x^{2}) + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.1.9.1.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 6 \cdot 4 x^{3 + 2} + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.1.9.1.4.3

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 6 \cdot 4 x^{5} + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.1.9.1.5

$6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.1.9.1.6

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} + 6 \cdot - 12 x^{2} x}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.1.9.1.7

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.9.1.7.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} + 6 \cdot - 12 (x \cdot x^{2})}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.1.9.1.7.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.9.1.7.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} + 6 \cdot - 12 (x^{1} x^{2})}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.1.9.1.7.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} + 6 \cdot - 12 x^{1 + 2}}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.1.9.1.7.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} + 6 \cdot - 12 x^{3}}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.1.9.1.8

$6$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} - 72 x^{3}}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.1.9.2

$- 4 x^{3}$ 에서 $72 x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 76 x^{3} + 12 x + 24 x^{5}}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.2

$- 12 x^{5}$ 를 $24 x^{5}$ 에 더합니다.

$\frac{12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 76 x^{3} + 12 x}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.3

$72 x^{3}$ 에서 $76 x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{12 x^{5} - 4 x^{3} - 60 x + 12 x}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 3.3.3.4

$- 60 x$ 를 $12 x$ 에 더합니다.

$\frac{12 x^{5} - 4 x^{3} - 48 x}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{12 x^{5} - 4 x^{3} - 48 x}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 x^{5} - 4 x^{3} - 48 x}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$