미적분 예제

$y = \frac{- 8 e^{2 x}}{7 x - 2}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{- 8 e^{2 x}}{7 x - 2})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{8 e^{2 x}}{7 x - 2}]$

단계 3.1.2

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{8 e^{2 x}}{7 x - 2}$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{7 x - 2}]$ 입니다.

$- 8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{7 x - 2}]$

단계 3.2

$f (x) = e^{2 x}$ , $g (x) = 7 x - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 8 \frac{(7 x - 2) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 3.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$- 8 \frac{(7 x - 2) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 8 \frac{(7 x - 2) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 3.3.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$- 8 \frac{(7 x - 2) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 3.4

미분합니다.

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단계 3.4.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 8 \frac{(7 x - 2) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 3.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 8 \frac{(7 x - 2) e^{2 x} (2 \cdot 1) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 3.4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 8 \frac{(7 x - 2) e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 3.4.3.2

$(7 x - 2) e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- 8 \frac{2 \cdot ((7 x - 2) e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 3.4.4

합의 법칙에 의해 $7 x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$- 8 \frac{2 (7 x - 2) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 3.4.5

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 8 \frac{2 (7 x - 2) e^{2 x} - e^{2 x} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 3.4.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 8 \frac{2 (7 x - 2) e^{2 x} - e^{2 x} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 3.4.7

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 8 \frac{2 (7 x - 2) e^{2 x} - e^{2 x} (7 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 3.4.8

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$- 8 \frac{2 (7 x - 2) e^{2 x} - e^{2 x} (7 + 0)}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 3.4.9

분수를 통분합니다.

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단계 3.4.9.1

$7$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 8 \frac{2 (7 x - 2) e^{2 x} - e^{2 x} \cdot 7}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 3.4.9.2

$7$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 8 \frac{2 (7 x - 2) e^{2 x} - 7 e^{2 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 3.4.9.3

$- 8$ 와 $\frac{2 (7 x - 2) e^{2 x} - 7 e^{2 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 8 (2 (7 x - 2) e^{2 x} - 7 e^{2 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 3.4.9.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{8 (2 (7 x - 2) e^{2 x} - 7 e^{2 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 3.5

간단히 합니다.

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단계 3.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{8 ((2 (7 x) + 2 \cdot - 2) e^{2 x} - 7 e^{2 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 3.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{8 (2 (7 x) e^{2 x} + 2 \cdot - 2 e^{2 x} - 7 e^{2 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 3.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{8 (2 (7 x) e^{2 x}) + 8 (2 \cdot - 2 e^{2 x}) + 8 (- 7 e^{2 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 3.5.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.5.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.5.4.1.1

$7$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{8 (14 x e^{2 x}) + 8 (2 \cdot - 2 e^{2 x}) + 8 (- 7 e^{2 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 3.5.4.1.2

$14$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- \frac{112 (x e^{2 x}) + 8 (2 \cdot - 2 e^{2 x}) + 8 (- 7 e^{2 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 3.5.4.1.3

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- \frac{112 x e^{2 x} + 8 (- 4 e^{2 x}) + 8 (- 7 e^{2 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 3.5.4.1.4

$- 4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- \frac{112 x e^{2 x} - 32 e^{2 x} + 8 (- 7 e^{2 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 3.5.4.1.5

$- 7$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- \frac{112 x e^{2 x} - 32 e^{2 x} - 56 e^{2 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 3.5.4.2

$- 32 e^{2 x}$ 에서 $56 e^{2 x}$ 을 뺍니다.

$- \frac{112 x e^{2 x} - 88 e^{2 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 3.5.5

$112 x e^{2 x} - 88 e^{2 x}$ 에서 $8 e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.5.5.1

$112 x e^{2 x}$ 에서 $8 e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{8 e^{2 x} (14 x) - 88 e^{2 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 3.5.5.2

$- 88 e^{2 x}$ 에서 $8 e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{8 e^{2 x} (14 x) + 8 e^{2 x} (- 11)}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 3.5.5.3

$8 e^{2 x} (14 x) + 8 e^{2 x} (- 11)$ 에서 $8 e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{8 e^{2 x} (14 x - 11)}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - \frac{8 e^{2 x} (14 x - 11)}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8 e^{2 x} (14 x - 11)}{{(7 x - 2)}^{2}}$