미적분 예제

$y = \frac{\cos (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cos (2 x)}{\sin^{2} (x)})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = \cos (2 x)$ , $g (x) = \sin^{2} (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{{(\sin^{2} (x))}^{2}}$

단계 3.2

${(\sin^{2} (x))}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{{\sin (x)}^{2 \cdot 2}}$

단계 3.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

단계 3.3

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{\sin^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

단계 3.3.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$\frac{\sin^{2} (x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

단계 3.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{\sin^{2} (x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

단계 3.4

미분합니다.

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단계 3.4.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\sin^{2} (x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

단계 3.4.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

단계 3.4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

단계 3.4.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

단계 3.5

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

단계 3.5.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

단계 3.5.3

$u_{2}$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

단계 3.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - 2 \cos (2 x) (\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

단계 3.7

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - 2 \cos (2 x) \sin (x) \cos (x)}{\sin^{4} (x)}$

단계 3.8

간단히 합니다.

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단계 3.8.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (x) \cos (x)}{\sin^{4} (x)}$

단계 3.8.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) - 2 \cos (x) \cos (2 x) \sin (x)}{\sin^{4} (x)}$

단계 3.8.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.3.1

$- 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) - 2 \cos (x) \cos (2 x) \sin (x)$ 에서 $2 \sin (x)$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.3.1.1

$- 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x)$ 에서 $2 \sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \sin (x) (- \sin (x) \sin (2 x)) - 2 \cos (x) \cos (2 x) \sin (x)}{\sin^{4} (x)}$

단계 3.8.3.1.2

$- 2 \cos (x) \cos (2 x) \sin (x)$ 에서 $2 \sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \sin (x) (- \sin (x) \sin (2 x)) + 2 \sin (x) (- \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

단계 3.8.3.1.3

$2 \sin (x) (- \sin (x) \sin (2 x)) + 2 \sin (x) (- \cos (x) \cos (2 x))$ 에서 $2 \sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \sin (x) (- \sin (x) \sin (2 x) - \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

단계 3.8.3.2

$- \sin (x) \sin (2 x) - \cos (x) \cos (2 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.3.2.1

$- \sin (x) \sin (2 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \sin (x) (- (\sin (x) \sin (2 x)) - \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

단계 3.8.3.2.2

$- \cos (x) \cos (2 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \sin (x) (- (\sin (x) \sin (2 x)) - (\cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

단계 3.8.3.2.3

$- (\sin (x) \sin (2 x)) - (\cos (x) \cos (2 x))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \sin (x) (- (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

$\frac{2 \sin (x) \cdot - 1 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

단계 3.8.3.3

지수를 묶습니다.

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단계 3.8.3.3.1

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\frac{- (2 \sin (x) (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

단계 3.8.3.3.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 (\sin (x) (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

$\frac{- 2 \sin (x) (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

단계 3.8.4

$\sin (x)$ 및 $\sin^{4} (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.8.4.1

$- 2 \sin (x) (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x))$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin (x) (- 2 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

단계 3.8.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.8.4.2.1

$\sin^{4} (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin (x) (- 2 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

단계 3.8.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sin (x) (- 2 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

단계 3.8.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 2 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

단계 3.8.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.5.1.1

사인 배각 공식을 적용합니다.

$\frac{- 2 (\sin (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

단계 3.8.5.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- 2 (2 \sin (x) \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

단계 3.8.5.1.3

$2 \sin (x) \sin (x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.5.1.3.1

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 2 (2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

단계 3.8.5.1.3.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 2 (2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

단계 3.8.5.1.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 2 (2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

단계 3.8.5.1.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

단계 3.8.5.1.4

배각 공식을 사용하여 $\cos (2 x)$ 를 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x)))}{\sin^{3} (x)}$

단계 3.8.5.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)))}{\sin^{3} (x)}$

단계 3.8.5.1.6

$\cos (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)))}{\sin^{3} (x)}$

단계 3.8.5.1.7

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x))}{\sin^{3} (x)}$

단계 3.8.5.2

$2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.5.2.1

인수가 항 $2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ 과(와) $- 2 \cos (x) \sin^{2} (x)$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos (x))}{\sin^{3} (x)}$

단계 3.8.5.2.2

$2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ 에서 $2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 (0 + \cos (x))}{\sin^{3} (x)}$

단계 3.8.5.2.3

$0$ 를 $\cos (x)$ 에 더합니다.

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

단계 3.8.6

$\sin^{3} (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin (x) \sin^{2} (x)}$

단계 3.8.7

분수를 나눕니다.

$\frac{- 2}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

단계 3.8.8

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 $\cot (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{- 2}{\sin^{2} (x)} \cot (x)$

단계 3.8.9

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2}{\sin^{2} (x) \cdot 1} \cot (x)$

단계 3.8.10

분수를 나눕니다.

$\frac{- 2}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cot (x)$

단계 3.8.11

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 을 $\csc^{2} (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{- 2}{1} \csc^{2} (x) \cot (x)$

단계 3.8.12

$- 2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$