미적분 예제

$y = 5 t {(2 t + 3)}^{3}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (5 t {(2 t + 3)}^{3})$

단계 2

$y$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$5$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $5 t {(2 t + 3)}^{3}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d t} [t {(2 t + 3)}^{3}]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d t} [t {(2 t + 3)}^{3}]$

단계 3.2

$f (t) = t$ , $g (t) = {(2 t + 3)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (t \frac{d}{d t} [{(2 t + 3)}^{3}] + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

단계 3.3

$f (t) = t^{3}$ , $g (t) = 2 t + 3$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 t + 3$ 로 바꿉니다.

$5 (t (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [2 t + 3]) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

단계 3.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (t (3 u^{2} \frac{d}{d t} [2 t + 3]) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

단계 3.3.3

$u$ 를 모두 $2 t + 3$ 로 바꿉니다.

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [2 t + 3]) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

단계 3.4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

합의 법칙에 의해 $2 t + 3$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3]$ 가 됩니다.

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3])) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

단계 3.4.2

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3])) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

단계 3.4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [3])) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

단계 3.4.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (2 + \frac{d}{d t} [3])) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

단계 3.4.5

$3$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (2 + 0)) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

단계 3.4.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} \cdot 2) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

단계 3.4.6.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$5 (t (6 {(2 t + 3)}^{2}) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

단계 3.4.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (t (6 {(2 t + 3)}^{2}) + {(2 t + 3)}^{3} \cdot 1)$

단계 3.4.8

${(2 t + 3)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 (t (6 {(2 t + 3)}^{2}) + {(2 t + 3)}^{3})$

단계 3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$5 (t (6 {(2 t + 3)}^{2})) + 5 {(2 t + 3)}^{3}$

단계 3.5.2

$6$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$30 (t ({(2 t + 3)}^{2})) + 5 {(2 t + 3)}^{3}$

단계 3.5.3

$30 t {(2 t + 3)}^{2} + 5 {(2 t + 3)}^{3}$ 에서 $5 {(2 t + 3)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1

$30 t {(2 t + 3)}^{2}$ 에서 $5 {(2 t + 3)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$5 {(2 t + 3)}^{2} (6 t) + 5 {(2 t + 3)}^{3}$

단계 3.5.3.2

$5 {(2 t + 3)}^{3}$ 에서 $5 {(2 t + 3)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$5 {(2 t + 3)}^{2} (6 t) + 5 {(2 t + 3)}^{2} (2 t + 3)$

단계 3.5.3.3

$5 {(2 t + 3)}^{2} (6 t) + 5 {(2 t + 3)}^{2} (2 t + 3)$ 에서 $5 {(2 t + 3)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$5 {(2 t + 3)}^{2} (6 t + 2 t + 3)$

단계 3.5.4

$6 t$ 를 $2 t$ 에 더합니다.

$5 {(2 t + 3)}^{2} (8 t + 3)$

단계 3.5.5

${(2 t + 3)}^{2}$ 을 $(2 t + 3) (2 t + 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$5 ((2 t + 3) (2 t + 3)) (8 t + 3)$

단계 3.5.6

FOIL 계산법을 이용하여 $(2 t + 3) (2 t + 3)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$5 (2 t (2 t + 3) + 3 (2 t + 3)) (8 t + 3)$

단계 3.5.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$5 (2 t (2 t) + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t + 3)) (8 t + 3)$

단계 3.5.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$5 (2 t (2 t) + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

단계 3.5.7

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.7.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.7.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$5 (2 \cdot 2 t \cdot t + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

단계 3.5.7.1.2

지수를 더하여 $t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.7.1.2.1

$t$ 를 옮깁니다.

$5 (2 \cdot 2 (t \cdot t) + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

단계 3.5.7.1.2.2

$t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

$5 (2 \cdot 2 t^{2} + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

단계 3.5.7.1.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$5 (4 t^{2} + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

단계 3.5.7.1.4

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$5 (4 t^{2} + 6 t + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

단계 3.5.7.1.5

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$5 (4 t^{2} + 6 t + 6 t + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

단계 3.5.7.1.6

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$5 (4 t^{2} + 6 t + 6 t + 9) (8 t + 3)$

단계 3.5.7.2

$6 t$ 를 $6 t$ 에 더합니다.

$5 (4 t^{2} + 12 t + 9) (8 t + 3)$

단계 3.5.8

분배 법칙을 적용합니다.

$(5 (4 t^{2}) + 5 (12 t) + 5 \cdot 9) (8 t + 3)$

단계 3.5.9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.9.1

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$(20 t^{2} + 5 (12 t) + 5 \cdot 9) (8 t + 3)$

단계 3.5.9.2

$12$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$(20 t^{2} + 60 t + 5 \cdot 9) (8 t + 3)$

단계 3.5.9.3

$5$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$(20 t^{2} + 60 t + 45) (8 t + 3)$

단계 3.5.10

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(20 t^{2} + 60 t + 45) (8 t + 3)$ 를 전개합니다.

$20 t^{2} (8 t) + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

단계 3.5.11

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.11.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$20 \cdot 8 t^{2} t + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

단계 3.5.11.2

지수를 더하여 $t^{2}$ 에 $t$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.11.2.1

$t$ 를 옮깁니다.

$20 \cdot 8 (t \cdot t^{2}) + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

단계 3.5.11.2.2

$t$ 에 $t^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.11.2.2.1

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$20 \cdot 8 (t^{1} t^{2}) + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

단계 3.5.11.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$20 \cdot 8 t^{1 + 2} + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

단계 3.5.11.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$20 \cdot 8 t^{3} + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

단계 3.5.11.3

$20$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$160 t^{3} + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

단계 3.5.11.4

$3$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

단계 3.5.11.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 60 \cdot 8 t \cdot t + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

단계 3.5.11.6

지수를 더하여 $t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.11.6.1

$t$ 를 옮깁니다.

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 60 \cdot 8 (t \cdot t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

단계 3.5.11.6.2

$t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 60 \cdot 8 t^{2} + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

단계 3.5.11.7

$60$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 480 t^{2} + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

단계 3.5.11.8

$3$ 에 $60$ 을 곱합니다.

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 480 t^{2} + 180 t + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

단계 3.5.11.9

$8$ 에 $45$ 을 곱합니다.

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 480 t^{2} + 180 t + 360 t + 45 \cdot 3$

단계 3.5.11.10

$45$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 480 t^{2} + 180 t + 360 t + 135$

단계 3.5.12

$60 t^{2}$ 를 $480 t^{2}$ 에 더합니다.

$160 t^{3} + 540 t^{2} + 180 t + 360 t + 135$

단계 3.5.13

$180 t$ 를 $360 t$ 에 더합니다.

$160 t^{3} + 540 t^{2} + 540 t + 135$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 160 t^{3} + 540 t^{2} + 540 t + 135$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d t}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d t} = 160 t^{3} + 540 t^{2} + 540 t + 135$