미적분 예제

$6 \sqrt{y^{3} + 1} - 2 x^{1.5} - 2 = 0$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{y^{3} + 1}$ 을(를) ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{1.5} - 2 = 0$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{1.5} - 2) = \frac{d}{d x} (0)$

단계 3

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{1.5} - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = y^{3} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $y^{3} + 1$ 로 바꿉니다.

$6 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $y^{3} + 1$ 로 바꿉니다.

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.2.3

합의 법칙에 의해 $y^{3} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.2.4

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.2.4.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.2.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.2.5

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.2.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.2.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.2.8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.2.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.2.10

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.2.10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.2.10.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.2.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.2.12

$3 y^{2} y'$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (3 y^{2} y')) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.2.13

$\frac{1}{2}$ 와 ${(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$6 (\frac{{(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (3 y^{2} y')) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.2.14

$3$ 와 $\frac{{(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$6 (\frac{3 {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (y^{2} y')) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.2.15

$y^{2}$ 와 $\frac{3 {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$6 (\frac{y^{2} (3 {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{2} y') + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.2.16

$\frac{y^{2} (3 {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{2}$ 와 $y'$ 을 묶습니다.

$6 \frac{y^{2} (3 {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}) y'}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.2.17

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$6 \frac{y^{2} \cdot 3 y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.2.18

$y^{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$6 \frac{3 \cdot y^{2} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.2.19

$6$ 와 $\frac{3 y^{2} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{6 (3 y^{2} y')}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.2.20

$3$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{18 (y^{2} y')}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.2.21

$18 y^{2} y'$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (9 y^{2} y')}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.2.22

공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.22.1

$2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (9 y^{2} y')}{2 ({(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.2.22.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (9 y^{2} y')}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.2.22.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x^{1.5}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{1.5}]$ 입니다.

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.3.2

$n = 1.5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 2 (1.5 x^{0.5}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.3.3

$1.5$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{0.5} + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.1

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{0.5} + 0$

단계 3.4.2

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{0.5}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{0.5}$

단계 4

$0$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $0$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $0$ 입니다.

$0$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{0.5} = 0$

단계 6

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 6.1

방정식의 양변에 $3 x^{0.5}$ 를 더합니다.

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 3 x^{0.5}$

단계 6.2

양변에 ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

단계 6.3

좌변을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

단계 6.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$9 y^{2} y' = 3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

단계 6.4

$9 y^{2} y' = 3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 의 각 항을 $9 y^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 6.4.1

$9 y^{2} y' = 3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 의 각 항을 $9 y^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{9 y^{2} y'}{9 y^{2}} = \frac{3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{9 y^{2}}$

단계 6.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1

$9$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{9 y^{2} y'}{9 y^{2}} = \frac{3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{9 y^{2}}$

단계 6.4.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{9 y^{2}}$

단계 6.4.2.2

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{9 y^{2}}$

단계 6.4.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{9 y^{2}}$

단계 6.4.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 6.4.3.1

$3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{3 (x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{9 y^{2}}$

단계 6.4.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.3.2.1

$9 y^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{3 (x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{3 (3 y^{2})}$

단계 6.4.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{3 (x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{3 (3 y^{2})}$

단계 6.4.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3 y^{2}}$

단계 7

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3 y^{2}}$