미적분 예제

$\ln (y) = 7 x \ln (\sqrt{x})$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\ln (y) = 7 x \ln (x^{\frac{1}{2}})$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (\ln (y)) = \frac{d}{d x} (7 x \ln (x^{\frac{1}{2}}))$

단계 3

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{y} y'$

단계 3.3

$\frac{1}{y}$ 와 $y'$ 을 묶습니다.

$\frac{y'}{y}$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x \ln (x^{\frac{1}{2}})$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{\frac{1}{2}})]$ 입니다.

$7 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{\frac{1}{2}})]$

단계 4.2

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (x^{\frac{1}{2}})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$7 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$7 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3.3

$u$ 를 모두 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$7 (x (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.4

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$7 (\frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.5

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$7 (x \cdot x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

$x$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$7 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.6.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$7 (x^{1 - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.6.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$7 (x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.6.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$7 (x^{\frac{2 - 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.6.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$7 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.7

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.8

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.9

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.11

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.11.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.11.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.13

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$7 (x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.14

$x^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$7 (\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.15

지수를 더하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.15.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$7 (\frac{x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.15.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$7 (\frac{x^{\frac{1 - 1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.15.3

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$7 (\frac{x^{\frac{0}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.15.4

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$7 (\frac{x^{0}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.16

$x^{0}$ 을 간단히 합니다.

$7 (\frac{1}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.17

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 (\frac{1}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1)$

단계 4.18

$\ln (x^{\frac{1}{2}})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$7 (\frac{1}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}))$

단계 4.19

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.19.1

분배 법칙을 적용합니다.

$7 (\frac{1}{2}) + 7 \ln (x^{\frac{1}{2}})$

단계 4.19.2

$7$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{7}{2} + 7 \ln (x^{\frac{1}{2}})$

단계 4.19.3

항을 다시 정렬합니다.

$7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$\frac{y'}{y} = 7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}$

단계 6

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

양변에 $y$ 을 곱합니다.

$\frac{y'}{y} y = (7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

단계 6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y'}{y} y = (7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

단계 6.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = (7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

단계 6.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$(7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$ 을 간단히 합니다.

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단계 6.2.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.2.1.1.1

$7$ 를 로그 안으로 옮겨 $7 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ 을 간단히 합니다.

$y' = (\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{7}) + \frac{7}{2}) y$

단계 6.2.2.1.1.2

${(x^{\frac{1}{2}})}^{7}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y' = (\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 7}) + \frac{7}{2}) y$

단계 6.2.2.1.1.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $7$ 을 묶습니다.

$y' = (\ln (x^{\frac{7}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

단계 6.2.2.1.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y' = \ln (x^{\frac{7}{2}}) y + \frac{7}{2} y$

단계 6.2.2.1.2.2

$\frac{7}{2}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$y' = \ln (x^{\frac{7}{2}}) y + \frac{7 y}{2}$

단계 6.2.2.1.2.3

$\ln (x^{\frac{7}{2}}) y + \frac{7 y}{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = y \ln (x^{\frac{7}{2}}) + \frac{7 y}{2}$

단계 7

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = y \ln (x^{\frac{7}{2}}) + \frac{7 y}{2}$