미적분 예제

${(x^{2} - y^{2})}^{3} = 3 a^{4} x^{2}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d a} ({(x^{2} - y^{2})}^{3}) = \frac{d}{d a} (3 a^{4} x^{2})$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

이항정리 이용

$\frac{d}{d a} [{(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} (- y^{2}) + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

단계 2.2

미분합니다.

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단계 2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1.1

${(x^{2})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d}{d a} [x^{2 \cdot 3} + 3 {(x^{2})}^{2} (- y^{2}) + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

단계 2.2.1.1.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d a} [x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} (- y^{2}) + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

단계 2.2.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d}{d a} [x^{6} + 3 \cdot - 1 {(x^{2})}^{2} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

단계 2.2.1.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 {(x^{2})}^{2} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

단계 2.2.1.4

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{2 \cdot 2} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

단계 2.2.1.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

단계 2.2.1.5

$- y^{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} ({(- 1)}^{2} {(y^{2})}^{2}) + {(- y^{2})}^{3}]$

단계 2.2.1.6

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 \cdot {(- 1)}^{2} x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

단계 2.2.1.7

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

단계 2.2.1.8

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

단계 2.2.1.9

${(y^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1.9.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{2 \cdot 2} + {(- y^{2})}^{3}]$

단계 2.2.1.9.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + {(- y^{2})}^{3}]$

단계 2.2.1.10

$- y^{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + {(- 1)}^{3} {(y^{2})}^{3}]$

단계 2.2.1.11

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - {(y^{2})}^{3}]$

단계 2.2.1.12

${(y^{2})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1.12.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - y^{2 \cdot 3}]$

단계 2.2.1.12.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - y^{6}]$

단계 2.2.2

합의 법칙에 의해 $x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - y^{6}$ 를 $a$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d a} [x^{6}] + \frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d a} [x^{6}] + \frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

단계 2.2.3

$x^{6}$ 이 $a$ 에 대해 일정하므로, $x^{6}$ 를 $a$ 에 대해 미분하면 $x^{6}$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

단계 2.2.4

$0$ 를 $\frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

단계 2.2.5

$- 3 x^{4}$ 은 $a$ 에 대해 일정하므로 $a$ 에 대한 $- 3 x^{4} y^{2}$ 의 미분은 $- 3 x^{4} \frac{d}{d a} [y^{2}]$ 입니다.

$- 3 x^{4} \frac{d}{d a} [y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

단계 2.3

$f (a) = a^{2}$ , $g (a) = y$ 일 때 $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ 는 $f' (g (a)) g' (a)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$- 3 x^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 x^{4} (2 u_{1} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

단계 2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$- 3 x^{4} (2 y \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

단계 2.4

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$- 6 x^{4} (y \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

단계 2.5

$\frac{d}{d a} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$- 6 x^{4} y y' + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

단계 2.6

$3 x^{2}$ 은 $a$ 에 대해 일정하므로 $a$ 에 대한 $3 x^{2} y^{4}$ 의 미분은 $3 x^{2} \frac{d}{d a} [y^{4}]$ 입니다.

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} \frac{d}{d a} [y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

단계 2.7

$f (a) = a^{4}$ , $g (a) = y$ 일 때 $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ 는 $f' (g (a)) g' (a)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

단계 2.7.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

단계 2.7.3

$u_{2}$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} (4 y^{3} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

단계 2.8

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} (y^{3} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

단계 2.9

$\frac{d}{d a} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

단계 2.10

$- 1$ 은 $a$ 에 대해 일정하므로 $a$ 에 대한 $- y^{6}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d a} [y^{6}]$ 입니다.

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - \frac{d}{d a} [y^{6}]$

단계 2.11

$f (a) = a^{6}$ , $g (a) = y$ 일 때 $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ 는 $f' (g (a)) g' (a)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.11.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{6}] \frac{d}{d a} [y])$

단계 2.11.2

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 는 $n {u_{3}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - (6 {u_{3}}^{5} \frac{d}{d a} [y])$

단계 2.11.3

$u_{3}$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - (6 y^{5} \frac{d}{d a} [y])$

단계 2.12

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - 6 (y^{5} \frac{d}{d a} [y])$

단계 2.13

$\frac{d}{d a} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - 6 y^{5} y'$

단계 2.14

항을 다시 정렬합니다.

$- 6 x^{4} y y' + 12 y^{3} x^{2} y' - 6 y^{5} y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$3 x^{2}$ 은 $a$ 에 대해 일정하므로 $a$ 에 대한 $3 a^{4} x^{2}$ 의 미분은 $3 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{4}]$ 입니다.

$3 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{4}]$

단계 3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 는 $n a^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} (4 a^{3})$

단계 3.3

식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} a^{3}$

단계 3.3.2

$12 x^{2} a^{3}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$12 a^{3} x^{2}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$- 6 x^{4} y y' + 12 y^{3} x^{2} y' - 6 y^{5} y' = 12 a^{3} x^{2}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d a}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d a} = 12 a^{3} x^{2}$