미적분 예제

x^{3} - y^{3} = 7

$x^{3} - y^{3} = 7$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

\frac{d}{d x} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (7)

$\frac{d}{d x} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (7)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해

$x^{3} - y^{3}$ 를

$x$ 에 대해 미분하면

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

단계 2.1.2

$n = 3$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 1$ 은

$x$ 에 대해 일정하므로

$x$ 에 대한

$- y^{3}$ 의 미분은

$- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 입니다.

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

단계 2.2.2

$f (x) = x^{3}$ ,

$g (x) = y$ 일 때

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는

$f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해

$u$ 를

$y$ 로 바꿉니다.

$3 x^{2} - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.2.2.2

$n = 3$ 일 때

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는

$n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.2.2.3

$u$ 를 모두

$y$ 로 바꿉니다.

$3 x^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을

$y'$ 로 바꿔 씁니다.

$3 x^{2} - (3 y^{2} y')$

단계 2.2.4

$3$ 에

$- 1$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

단계 3

$7$ 이

$x$ 에 대해 일정하므로,

$7$ 를

$x$ 에 대해 미분하면

$7$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$3 x^{2} - 3 y^{2} y' = 0$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

방정식의 양변에서

$3 x^{2}$ 를 뺍니다.

$- 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

단계 5.2

$- 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ 의 각 항을

$- 3 y^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$- 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ 의 각 항을

$- 3 y^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{- 3 y^{2} y'}{- 3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

단계 5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$- 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 3 y^{2} y'}{- 3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

단계 5.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

단계 5.2.2.2

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

단계 5.2.2.2.2

$y'$ 을

$1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

단계 5.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$- 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

단계 5.2.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

단계 6

$y'$ 에

$\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$