미적분 예제

$3 x + \ln (y) = x^{2} y^{5}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (3 x + \ln (y)) = \frac{d}{d x} (x^{2} y^{5})$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $3 x + \ln (y)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

단계 2.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

단계 2.2.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [\ln (y)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$3 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.3.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$3 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.3.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$3 + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$3 + \frac{1}{y} y'$

단계 2.3.3

$\frac{1}{y}$ 와 $y'$ 을 묶습니다.

$3 + \frac{y'}{y}$

단계 2.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{y'}{y} + 3$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y^{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{5}] + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2

$f (x) = x^{5}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (5 y^{4} \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.3

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$5 \cdot x^{2} y^{4} \frac{d}{d x} [y] + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$5 x^{2} y^{4} y' + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 x^{2} y^{4} y' + y^{5} (2 x)$

단계 3.6

다시 정렬합니다.

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단계 3.6.1

$y^{5}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$5 x^{2} y^{4} y' + 2 \cdot y^{5} x$

단계 3.6.2

항을 다시 정렬합니다.

$5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$\frac{y'}{y} + 3 = 5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

방정식의 양변에서 $5 y^{4} x^{2} y'$ 를 뺍니다.

$\frac{y'}{y} + 3 - 5 y^{4} x^{2} y' = 2 y^{5} x$

단계 5.2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

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단계 5.2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$y, 1, 1, 1$

단계 5.2.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$y$

단계 5.3

$\frac{y'}{y} + 3 - 5 y^{4} x^{2} y' = 2 y^{5} x$ 의 각 항에 $y$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

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단계 5.3.1

$\frac{y'}{y} + 3 - 5 y^{4} x^{2} y' = 2 y^{5} x$ 의 각 항에 $y$ 을 곱합니다.

$\frac{y'}{y} y + 3 y - 5 y^{4} x^{2} y' y = 2 y^{5} x y$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y'}{y} y + 3 y - 5 y^{4} x^{2} y' y = 2 y^{5} x y$

단계 5.3.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y' + 3 y - 5 y^{4} x^{2} y' y = 2 y^{5} x y$

단계 5.3.2.1.2

지수를 더하여 $y^{4}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.2.1

$y$ 를 옮깁니다.

$y' + 3 y - 5 (y \cdot y^{4}) x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

단계 5.3.2.1.2.2

$y$ 에 $y^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.2.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$y' + 3 y - 5 (y^{1} y^{4}) x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

단계 5.3.2.1.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y' + 3 y - 5 y^{1 + 4} x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

단계 5.3.2.1.2.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

지수를 더하여 $y^{5}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1

$y$ 를 옮깁니다.

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 (y \cdot y^{5}) x$

단계 5.3.3.1.2

$y$ 에 $y^{5}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 (y^{1} y^{5}) x$

단계 5.3.3.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{1 + 5} x$

단계 5.3.3.1.3

$1$ 를 $5$ 에 더합니다.

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{6} x$

단계 5.4

식을 풉니다.

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단계 5.4.1

방정식의 양변에서 $3 y$ 를 뺍니다.

$y' - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{6} x - 3 y$

단계 5.4.2

$y' - 5 y^{5} x^{2} y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

${y'}^{1}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' \cdot 1 - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{6} x - 3 y$

단계 5.4.2.2

$- 5 y^{5} x^{2} y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' \cdot 1 + y' (- 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$

단계 5.4.2.3

$y' \cdot 1 + y' (- 5 y^{5} x^{2})$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (1 - 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$

단계 5.4.3

$y' (1 - 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$ 의 각 항을 $1 - 5 y^{5} x^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1

$y' (1 - 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$ 의 각 항을 $1 - 5 y^{5} x^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (1 - 5 y^{5} x^{2})}{1 - 5 y^{5} x^{2}} = \frac{2 y^{6} x}{1 - 5 y^{5} x^{2}} + \frac{- 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

단계 5.4.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.2.1

$1 - 5 y^{5} x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (1 - 5 y^{5} x^{2})}{1 - 5 y^{5} x^{2}} = \frac{2 y^{6} x}{1 - 5 y^{5} x^{2}} + \frac{- 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

단계 5.4.3.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{2 y^{6} x}{1 - 5 y^{5} x^{2}} + \frac{- 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

단계 5.4.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{2 y^{6} x - 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

단계 5.4.3.3.2

$2 y^{6} x - 3 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.3.2.1

$2 y^{6} x$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y (2 y^{5} x) - 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

단계 5.4.3.3.2.2

$- 3 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y (2 y^{5} x) + y \cdot - 3}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

단계 5.4.3.3.2.3

$y (2 y^{5} x) + y \cdot - 3$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y (2 y^{5} x - 3)}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{5} x - 3)}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$