미적분 예제

$2 x^{2} y - \frac{3}{y} = 0$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} y - \frac{3}{y}) = \frac{d}{d x} (0)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{2} y - \frac{3}{y}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2} y$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

단계 2.2.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

단계 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

단계 2.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

단계 2.2.5

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{3}{y}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ 입니다.

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

단계 2.3.2

$f (x) = 1$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

단계 2.3.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

단계 2.3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

단계 2.3.5

$y$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

단계 2.3.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{0 - y'}{y^{2}}$

단계 2.3.7

$0$ 에서 $y'$ 을 뺍니다.

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{- y'}{y^{2}}$

단계 2.3.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (- \frac{y'}{y^{2}})$

단계 2.3.9

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$2 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 \frac{y'}{y^{2}}$

단계 2.3.10

$3$ 와 $\frac{y'}{y^{2}}$ 을 묶습니다.

$2 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{3 y'}{y^{2}}$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (x^{2} y') + 2 (2 y x) + \frac{3 y'}{y^{2}}$

단계 2.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 x^{2} y' + 4 y x + \frac{3 y'}{y^{2}}$

단계 2.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$2 x^{2} y' + 4 x y + \frac{3 y'}{y^{2}}$

단계 3

$0$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $0$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $0$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$2 x^{2} y' + 4 x y + \frac{3 y'}{y^{2}} = 0$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

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단계 5.1.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$1, 1, y^{2}, 1$

단계 5.1.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$y^{2}$

단계 5.2

$2 x^{2} y' + 4 x y + \frac{3 y'}{y^{2}} = 0$ 의 각 항에 $y^{2}$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

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단계 5.2.1

$2 x^{2} y' + 4 x y + \frac{3 y'}{y^{2}} = 0$ 의 각 항에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y \cdot y^{2} + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

단계 5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.2.1.1

지수를 더하여 $y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.2.2.1.1.1

$y^{2}$ 를 옮깁니다.

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x (y^{2} y) + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

단계 5.2.2.1.1.2

$y^{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 5.2.2.1.1.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x (y^{2} y^{1}) + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

단계 5.2.2.1.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{2 + 1} + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

단계 5.2.2.1.1.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{3} + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

단계 5.2.2.1.2

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{3} + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

단계 5.2.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{3} + 3 y' = 0 y^{2}$

단계 5.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.3.1

$0$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{3} + 3 y' = 0$

단계 5.3

식을 풉니다.

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단계 5.3.1

방정식의 양변에서 $4 x y^{3}$ 를 뺍니다.

$2 x^{2} y' y^{2} + 3 y' = - 4 x y^{3}$

단계 5.3.2

$2 x^{2} y' y^{2} + 3 y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.2.1

$2 x^{2} y' y^{2}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (2 x^{2} y^{2}) + 3 y' = - 4 x y^{3}$

단계 5.3.2.2

$3 y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (2 x^{2} y^{2}) + y' \cdot 3 = - 4 x y^{3}$

단계 5.3.2.3

$y' (2 x^{2} y^{2}) + y' \cdot 3$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (2 x^{2} y^{2} + 3) = - 4 x y^{3}$

단계 5.3.3

$y' (2 x^{2} y^{2} + 3) = - 4 x y^{3}$ 의 각 항을 $2 x^{2} y^{2} + 3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.1

$y' (2 x^{2} y^{2} + 3) = - 4 x y^{3}$ 의 각 항을 $2 x^{2} y^{2} + 3$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (2 x^{2} y^{2} + 3)}{2 x^{2} y^{2} + 3} = \frac{- 4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$

단계 5.3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.2.1

$2 x^{2} y^{2} + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (2 x^{2} y^{2} + 3)}{2 x^{2} y^{2} + 3} = \frac{- 4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$

단계 5.3.3.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$

단계 5.3.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$